Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x +infty(1+2x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+2xr)^x^2
que é uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Vamos usar o logaritmo natural para transformar em produto/quociente e depois aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1+2xr)^x^2
Tomando logaritmo,
ln L = limxto+infty x^2,ln!l(1+tfrac2xr)
Essa expressão é da forma inftycdot0. Reescrevemos como quociente:
x^2ln!l(1+tfrac2xr) = ln!l(1+tfrac2xr)1/x^2

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital ao limite
limxto+inftyln!l(1+tfrac2xr)1/x^2
Derivadas em x:
ddxln!l(1+tfrac2xr) = 11+2/x,l(-2x^2r) = -2x^2,(1+2/x),
ddxl(tfrac1x^2r) = -2x^3

Passo 4

O quociente das derivadas é
-tfrac2x^2(1+2/x)-tfrac2x^3 = x^3x^2(1+2/x) = x1+2/x = x^2x+2
Logo
ln L = limxto+inftyx^2x+2 = +infty

Passo 5

Como ln Lto+infty, segue que
L = e^ln L to e^+infty = +infty

Resposta

+infty

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