Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0 tg xtg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0tan xtan(2x).
Como ao substituir x=0 obtemos a forma indeterminada tfrac00, vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se limxto af(x)=0 e limxto ag(x)=0 com f e g diferenciáveis, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Derivamos numerador e denominador separadamente.
ddxl[tan xr]=sec^2 x,
ddxl[tan(2x)r]=2,sec^2(2x)
Pela regra de L’Hôpital,
limxto 0tan xtan(2x) =limxto 0sec^2 x2,sec^2(2x)

Passo 3

Basta agora avaliar em x=0. Sabemos que sec^2(0)=1 e sec^2(2cdot 0)=1. Logo,
limxto 0sec^2 x2,sec^2(2x) =12cdot 1 =12

Resposta

12

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