Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
2s(s+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace usando convolução para
F(s)=2s(s+1)
O conteúdo é a aplicação do Teorema da Convolução, que diz que se
G(s)=Lg(t), H(s)=Lh(t),
então
L^-1G(s),H(s)=(g*h)(t)=integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau

Passo 2

Escrevemos F(s) como produto de dois fatores simples:
F(s)=2;1s;1s+1

Passo 3

Reconhecemos
G(s)=1sLongrightarrow g(t)=L^-1G(s)=1,
H(s)=1s+1Longrightarrow h(t)=L^-1H(s)=e^-t

Passo 4

Pela convolução (ignorando ainda o fator 2), temos
(g*h)(t)=integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau =integral0^t1cdot e^-(t-tau),dtau

Passo 5

Calculamos o integral:
integral0^te^-(t-tau),dtau =integral0^te^-t,e^tau,dtau =e^-tintegral0^te^tau,dtau =e^-tl[e^taur]0^t =e^-t(e^t-1) =1-e^-t

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2 que estava em F(s), obtemos
f(t)=2,(g*h)(t)=2l(1-e^-tr)

Resposta

f(t)=2l(1-e^-tr)

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