Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
3s^2(s^2+3)

Passo 1

O enunciado pede L^-1ltfrac3s^2(s^2+3)r usando convolução. Aqui o conteúdo é a propriedade de convolução de Laplace, que diz que
Lf*g(s)=Lf(s),Lg(s)
Vamos decompor
3s^2(s^2+3)=3;1s^2;1s^2+3
e usar a convolução das funções inversas de tfrac1s^2 e tfrac1s^2+3.

Passo 2

Identificamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1!ltfrac1s^2r(t)=t, L^-1!ltfrac1s^2+3r(t) =1raiz3sinl(raiz3,tr)

Passo 3

Pela definição de convolução, a inversa de 3,(1/s^2)(1/(s^2+3)) é
f(t) =3,(t * tfrac1raiz3sin(raiz3t))(t) =3integral0^ttau;1raiz3sinl(raiz3(t-tau)r),dtau =raiz3integral0^ttau,sinl(raiz3(t-tau)r),dtau

Passo 4

Para calcular
I=integral0^ttau,sinl(raiz3(t-tau)r),dtau
faço a mudança de variável u=t-tau, logo tau=t-u e dtau=-du. Isso dá
I=integralu=t^u=0(t-u),sin(raiz3u),(-du) =integral0^t(t-u),sin(raiz3u),du =tintegral0^tsin(raiz3u),du-integral0^tu,sin(raiz3u),du

Passo 5

Calculo separadamente
J1=integral0^tsin(raiz3u),du =l[-tfrac1raiz3cos(raiz3u)r]0^t =tfrac1raiz3l(1-cos(raiz3t)r),
e por partes
J2=integral0^tu,sin(raiz3u),du =-ucos(raiz3u)raiz3|0^t +integral0^tcos(raiz3u)raiz3,du =-tcos(raiz3t)raiz3+13sin(raiz3t)
Então
I=t,J1-J2 =t!!l[tfrac1raiz3(1-cos(raiz3t))r] -l(-tcos(raiz3t)raiz3+13sin(raiz3t)r) =traiz3-13sin(raiz3t)
Logo
f(t) =raiz3,I =raiz3l(traiz3-13sin(raiz3t)r) =t-1raiz3sinl(raiz3tr)

Resposta

L^-1!ltfrac3s^2(s^2+3)r(t) =t-1raiz3sinl(raiz3,tr)

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