Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
1s^2+3 s-40

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=1s^2+3s-40
usando o teorema da convolução. Vamos reconhecer F(s) como produto de duas transformadas simples e depois aplicar convolução no domínio do tempo.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^2+3s-40 = (s-5)(s+8)
Logo,
F(s) = 1(s-5)(s+8) = 1s-5;cdot;1s+8

Passo 3

Identificamos as duas transformadas inversas básicas:
f1(t)=L^-1!ltfrac1s-5r = e^5t, f2(t)=L^-1!ltfrac1s+8r = e^-8t

Passo 4

Pelo teorema da convolução, a inversa de F(s)=1s-51s+8 é
f(t) =(f1*f2)(t) =integral0^tf1(u),f2(t-u),du =integral0^te^5u,e^-8(t-u),du
Fazendo a conta:
integral0^te^5ue^-8(t-u),du =e^-8tintegral0^te^13u,du =e^-8t,e^13t-113 =e^5t-e^-8t13

Resposta

f(t)=e^5t-e^-8t13

Exercícios relacionados