Então, para cada b devemos encontrar o vetor x que satisfaz Ax=b. Vamos usar a decomposição A=LU para transformar o problema em duas etapas: Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição retroativa).]
Passo 2
Vamos obter a decomposição A=LU. Usarei a forma padrão (Doolittle), em que L tem uns na diagonal:
escrevemos
Breve explicação didática: com A=LU resolver Ax=b vira primeiro resolver Ly=b (fácil porque L é triangular inferior com 1s na diagonal) para obter y, e depois resolver Ux=y (fácil porque U é triangular superior). Para matrizes 2\times2 as fórmulas são simples e fazemos isso sem calculadora usando frações.]
A segunda fornece x_2=\dfrac{16}{27}y_2 (ou, com cuidado com frações, x_2=\dfrac{y_2}{27/16}=\dfrac{16\,y_2}{27}), e então x_1=(y_1-5x_2)/16. Agora aplicamos para cada b.]
Passo 4
Resolver para b^{(1)}=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]3\end{array}\right].