Utilize as decomposições A=L U da questão 3 para resolver os seguintes sistemas:
a)
\left[\begin{array}{cc} 16 & 5 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\\ b_{2} \end{array}\right], \quad \text { para } b=\left[\begin{array}{c} 21 \\\\ 3 \end{array}\right] \text { e } b=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A x = b
para a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 16 & 5 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]
usando as decomposições A=LU (já mencionadas na questão 3). Precisamos resolver para duas escolhas de b:
b^{(1)}=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]3\end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad b^{(2)}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right].
Então, para cada b devemos encontrar o vetor x que satisfaz Ax=b. Vamos usar a decomposição A=LU para transformar o problema em duas etapas: Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição retroativa).]

Passo 2

Vamos obter a decomposição A=LU. Usarei a forma padrão (Doolittle), em que L tem uns na diagonal:
escrevemos
L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{cc}u_{11} & u_{12}\\[4pt]0 & u_{22}\end{array}\right].
As equações que vêm de A=LU são:
u_{11}=a_{11},\qquad u_{12}=a_{12}, \qquad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}, \qquad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
Agora calculamos com os elementos de A:
u_{11}=16,\qquad u_{12}=5,
\ell_{21}=\frac{1}{16},
u_{22}=2-\frac{1}{16}\cdot 5=2-\frac{5}{16}=\frac{32-5}{16}=\frac{27}{16}.
Portanto
L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{16} & 1\end{array}\right], \qquad U=\left[\begin{array}{cc}16 & 5\\[4pt]0 & \dfrac{27}{16}\end{array}\right].
Breve explicação didática: com A=LU resolver Ax=b vira primeiro resolver Ly=b (fácil porque L é triangular inferior com 1s na diagonal) para obter y, e depois resolver Ux=y (fácil porque U é triangular superior). Para matrizes 2\times2 as fórmulas são simples e fazemos isso sem calculadora usando frações.]

Passo 3

Método de substituição direta (para Ly=b): para
L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{16} & 1\end{array}\right], \qquad y=\left[\begin{array}{c}y_1\\[4pt]y_2\end{array}\right],
as equações são
y_1=b_1, \qquad \frac{1}{16}y_1+y_2=b_2
ou seja
y_1=b_1,\qquad y_2=b_2-\frac{1}{16}y_1.
Método de substituição retroativa (para Ux=y): para
U=\left[\begin{array}{cc}16 & 5\\[4pt]0 & \dfrac{27}{16}\end{array}\right], \qquad x=\left[\begin{array}{c}x_1\\[4pt]x_2\end{array}\right],
as equações são
16x_1+5x_2=y_1,\qquad \frac{27}{16}x_2=y_2.
A segunda fornece x_2=\dfrac{16}{27}y_2 (ou, com cuidado com frações, x_2=\dfrac{y_2}{27/16}=\dfrac{16\,y_2}{27}), e então x_1=(y_1-5x_2)/16. Agora aplicamos para cada b.]

Passo 4

Resolver para b^{(1)}=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]3\end{array}\right].
  1. Substituição direta Ly=b^{(1)}:
y_1=21,
y_2=3-\frac{1}{16}\cdot 21=3-\frac{21}{16}=\frac{48}{16}-\frac{21}{16}=\frac{27}{16}.
Assim
y=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]\dfrac{27}{16}\end{array}\right].
  1. Substituição retroativa Ux=y:
    da segunda equação
\frac{27}{16}x_2=\frac{27}{16}\quad\Rightarrow\quad x_2=1.
Da primeira equação
16x_1+5\cdot 1=21\quad\Rightarrow\quad 16x_1=16\quad\Rightarrow\quad x_1=1.
Portanto, para b^{(1)},
x=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 5

Resolver para b^{(2)}=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right].
  1. Substituição direta Ly=b^{(2)}:
y_1=1,
y_2=0-\frac{1}{16}\cdot 1=-\frac{1}{16}.
Assim
y=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]-\dfrac{1}{16}\end{array}\right].
  1. Substituição retroativa Ux=y:
    da segunda equação
\frac{27}{16}x_2=-\frac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{-\tfrac{1}{16}}{\tfrac{27}{16}}=-\frac{1}{27}.
Da primeira equação
16x_1+5\left(-\frac{1}{27}\right)=1\quad\Rightarrow\quad 16x_1=1+\frac{5}{27}=\frac{27}{27}+\frac{5}{27}=\frac{32}{27}.
Logo
x_1=\frac{\tfrac{32}{27}}{16}=\frac{32}{27}\cdot\frac{1}{16}=\frac{32}{432}=\frac{2}{27}.
Portanto, para b^{(2)},
x=\left[\begin{array}{c}\dfrac{2}{27}\\[4pt]-\dfrac{1}{27}\end{array}\right].]

Resposta

\text{Para }b=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]3\end{array}\right]:\quad x=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right]
\text{Para }b=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right]:\quad x=\left[\begin{array}{c}\dfrac{2}{27}\\[4pt]-\dfrac{1}{27}\end{array}\right]]

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