5 Considere o problema de interpolação polinomial para uma função
usando o método de Newton. Dado o conjunto de nós
, sabemos que o polinômio interpolador
é dado por:
,
onde
são as diferenças divididas.
a) Mostre que o erro
do polinômio interpolador é dado por:
para algum
.
b) Para os nós
, e a função
:
i) Encontre explicitamente o polinômio
.
ii) Determine o erro
para
.
onde
a) Mostre que o erro
b) Para os nós
i) Encontre explicitamente o polinômio
ii) Determine o erro
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Dados os nós
e uma função , o polinômio interpolador na forma de Newton é
onde
são as diferenças divididas (essa informação veio diretamente do enunciado).
- Parte (a): Mostrar que o erro do interpolador é
para algum
no intervalo
.
- Parte (b): Com
, , e :
i) Encontrar explicitamente.
ii) Determinar o erropara .
Observação: a resolução começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Entendimento do objetivo de (a) e estratégia que será usada (sem revelar “método” no Passo 1, agora é hora de começar a resolver).
Queremos expressar o erro
como produto de
multiplicado por um fator que envolva a derivada de ordem
. A ideia clássica é construir uma função que zere em todos os nós
e também em
, aplicar um teorema de valor médio generalizado (variante de Rolle) e relacionar a derivada de ordem
dessa função com
. Vou construir essa função explicitamente e mostrar cada passo com cuidado.
Passo 3
Definição da função auxiliar e relação com o erro.
Defina a função auxiliar
por
onde
é uma constante que vamos escolher de modo conveniente. Note que:
-
é um polinômio de grau , logo . - A função
é um polinômio de grau e sua derivada de ordem é (constante), pois a derivada de ordem de um monômio apropriado dá esse fator.
Agora escolha
de modo que
. Isto é, tomamos
se
não coincidir com algum
. (Se
for igual a algum nó
, então claramente
e não há problema — a fórmula do erro também dá zero nesse caso pelo fator
.)
Passo 4
Propriedades de
com essa escolha de
.
Com
assim escolhido,
zera nos pontos
(porque
é zero nesses nós, já que
interpola
) e também zera em
por construção. Logo
tem pelo menos
zeros distintos (assumindo nós distintos e
possivelmente distinto deles). Escrevendo isso:
Passo 5
Aplicando o teorema de Rolle de forma repetida (ou teorema do resto de Taylor em forma apropriada).
Teorema útil (explicado): se uma função
é
vezes diferenciável em um intervalo e tem
pontos distintos onde é zero, então a derivada de ordem
,
, tem pelo menos um zero nesse intervalo. Isso é obtido aplicando o teorema de Rolle sucessivas vezes: entre dois zeros há um zero da derivada; repetindo você encontra zeros de derivadas de ordens crescentes até a ordem
.
Portanto existe
no intervalo
tal que
Passo 6
Calcular
e relacionar com
.
Lembre-se da definição
Derivando
vezes:
-
aparece diretamente da derivação de . -
porque grau . - A derivada de ordem
do produto é (uma constante), pois esse polinômio é de grau e, ao derivar vezes, sobra o fator .
Assim
Em particular, em
onde
, obtemos
portanto
Passo 7
Relacione
com o erro
e conclua a fórmula do erro.
Recordando a definição de
do Passo 3:
Combinando isso com a expressão de
obtida no Passo 6, obtemos
Isolando
,
com
no intervalo pedido. Isso prova a fórmula do erro pedida na parte (a). (Se
coincide com algum nó, o produto zera e
, compatível com a fórmula.)
Passo 8
Agora parte (b), item (i): calcular explicitamente
para
,
,
e
.
Primeiro calculamos as diferenças divididas passo a passo.
- Zeroth order:
- Primeira ordem:
- Segunda ordem:
Agora substituímos na fórmula de Newton (com
):
Como
e
, isso fica
Podemos deixar nessa forma fatorada (clara) ou expandir. Expandindo um pouco:
Passo 9
Parte (b), item (ii): determinar
para
.
Usamos a fórmula do erro com
:
para algum
entre
e
; ou seja,
.
Para
temos
. Avaliando em
:
Calcule o produto dos fatores:
E
. Logo
Portanto existe
tal que
Observações úteis para a prova/estimativa:
- Como
para todo , o sinal do erro é negativo (já que o produto dos fatores em foi negativo). - Podemos obter um limite numérico para o erro usando
. Assim
ou em módulo
.
- O valor exato do
não é determinado pela teoria geral; ela apenas garante que existe tal em . Se você quiser o erro numérico exato, pode calcular substituindo e calculando numericamente com uma calculadora.