Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
a) A=\left[\begin{array}{cc}16 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right],
b) A=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right],
c) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das matrizes dadas, encontrar uma decomposição da forma A = L U, onde L é triangular inferior e U é triangular superior. As matrizes são:
O que se pede para cada item: encontrar matrizes L e U tais que A=LU.]
Passo 2
Vou usar o método de Doolittle (muito usado em prova): escolhemos L triangular inferior com diagonal igual a 1 e U triangular superior. Escrevendo entradas:
L=\bigl(l_{ij}\bigr),\quad U=\bigl(u_{ij}\bigr),
com l_{ii}=1 para todo i, l_{ij}=0 se j>i e u_{ij}=0 se i>j.
A relação A=LU na entrada (i,j) dá a identidade
a_{ij}=\sum_{s=1}^{\min(i,j)} l_{is}\,u_{sj}.
Dessa identidade extraímos as fórmulas práticas usadas no algoritmo Doolittle (para k = 1,2,…,n):
Essas fórmulas significam: para cada coluna/linha k primeiro calculo os elementos da linha k de U (fórmula (1)) e depois os elementos da coluna k de L abaixo da diagonal (fórmula (2)). Vou aplicar isso passo a passo em cada matriz. Não se assuste com somas: para matrizes pequenas elas ficam bem diretas.
Passo 3
Para A=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt]1&2\end{pmatrix} tomo
Por fim u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=2-\dfrac{1}{16}\cdot 5.
Calcule: \dfrac{1}{16}\cdot 5=\dfrac{5}{16}, entãou_{22}=2-\dfrac{5}{16}=\dfrac{32-5}{16}=\dfrac{27}{16}.
Assim os elementos obtidos são u_{11}=16,\;u_{12}=5,\;l_{21}=\tfrac{1}{16},\;u_{22}=\tfrac{27}{16}.]
Finalmente u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}.
Calcule cada termo: l_{31}u_{13}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}. l_{32}u_{23}=(-3)\cdot\frac{17}{5}=-\frac{51}{5}.
Entãou_{33}=3-\frac{1}{5}-\Bigl(-\frac{51}{5}\Bigr)=3-\frac{1}{5}+\frac{51}{5} =3+\frac{50}{5}=3+10=13.
Os elementos obtidos: u_{11}=5,\;u_{12}=2,\;u_{13}=1,\;l_{21}=\tfrac{3}{5},\;l_{31}=\tfrac{1}{5},\;u_{22}=-\tfrac{1}{5},\;u_{23}=\tfrac{17}{5},\;l_{32}=-3,\;u_{33}=13.]
Passo 5
Para A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 6 & 4\\[4pt]0 & 4 & 11\end{pmatrix} tomo a mesma forma: