Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
a) A=\left[\begin{array}{cc}16 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right],
b) A=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right],
c) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das matrizes dadas, encontrar uma decomposição da forma A = L U, onde L é triangular inferior e U é triangular superior. As matrizes são:
\text{(a)}\quad A=\begin{pmatrix}16 & 5 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \text{(b)}\quad A=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1 \\[4pt] 3 & 1 & 4 \\[4pt] 1 & 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad \text{\text{(c)}}\quad A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 6 & 4 \\[4pt] 0 & 4 & 11\end{pmatrix}.
O que se pede para cada item: encontrar matrizes L e U tais que A=LU.]

Passo 2

Vou usar o método de Doolittle (muito usado em prova): escolhemos L triangular inferior com diagonal igual a 1 e U triangular superior. Escrevendo entradas:
L=\bigl(l_{ij}\bigr),\quad U=\bigl(u_{ij}\bigr),
com l_{ii}=1 para todo i, l_{ij}=0 se j>i e u_{ij}=0 se i>j.
A relação A=LU na entrada (i,j) dá a identidade
a_{ij}=\sum_{s=1}^{\min(i,j)} l_{is}\,u_{sj}.
Dessa identidade extraímos as fórmulas práticas usadas no algoritmo Doolittle (para k = 1,2,…,n):
\text{(1) } u_{k j}=a_{k j}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{k s}\,u_{s j}\quad\text{para } j\ge k,
\text{(2) } l_{i k}=\frac{1}{u_{k k}}\Bigl(a_{i k}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{i s}\,u_{s k}\Bigr)\quad\text{para } i>k.
Essas fórmulas significam: para cada coluna/linha k primeiro calculo os elementos da linha k de U (fórmula (1)) e depois os elementos da coluna k de L abaixo da diagonal (fórmula (2)). Vou aplicar isso passo a passo em cada matriz. Não se assuste com somas: para matrizes pequenas elas ficam bem diretas.

Passo 3

Para A=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt]1&2\end{pmatrix} tomo
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] l_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt]0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Usando as fórmulas:
  • Para k=1: u_{11}=a_{11}=16.
    Também u_{12}=a_{12}=5 (porque u_{1j}=a_{1j} quando não há somas anteriores).
  • Agora l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{16}.
  • Por fim u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=2-\dfrac{1}{16}\cdot 5.
    Calcule: \dfrac{1}{16}\cdot 5=\dfrac{5}{16}, então u_{22}=2-\dfrac{5}{16}=\dfrac{32-5}{16}=\dfrac{27}{16}.
Assim os elementos obtidos são u_{11}=16,\;u_{12}=5,\;l_{21}=\tfrac{1}{16},\;u_{22}=\tfrac{27}{16}.]

Passo 4

Para A=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\[4pt]3 & 1 & 4\\[4pt]1 & 1 & 3\end{pmatrix} tomo
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & 1 & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt]0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt]0 & 0 & u_{33}\end{pmatrix}.
Aplicando passo a passo:
  • k=1: u_{11}=a_{11}=5,\; u_{12}=a_{12}=2,\; u_{13}=a_{13}=1.
  • l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{3}{5},\qquad l_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{1}{5}.
  • k=2: calcular u_{22} e u_{23} usando (1): u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=1-\frac{3}{5}\cdot 2=1-\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}.
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=4-\frac{3}{5}\cdot 1=4-\frac{3}{5}=\frac{20-3}{5}=\frac{17}{5}.
  • Agora l_{32} usando (2): l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{1-\frac{1}{5}\cdot 2}{-\frac{1}{5}} =\frac{1-\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}} =\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{1}{5}}=-3.
  • Finalmente u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}.
    Calcule cada termo: l_{31}u_{13}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.
    l_{32}u_{23}=(-3)\cdot\frac{17}{5}=-\frac{51}{5}.
    Então u_{33}=3-\frac{1}{5}-\Bigl(-\frac{51}{5}\Bigr)=3-\frac{1}{5}+\frac{51}{5} =3+\frac{50}{5}=3+10=13.
Os elementos obtidos: u_{11}=5,\;u_{12}=2,\;u_{13}=1,\;l_{21}=\tfrac{3}{5},\;l_{31}=\tfrac{1}{5},\;u_{22}=-\tfrac{1}{5},\;u_{23}=\tfrac{17}{5},\;l_{32}=-3,\;u_{33}=13.]

Passo 5

Para A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 6 & 4\\[4pt]0 & 4 & 11\end{pmatrix} tomo a mesma forma:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & 1 & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt]0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt]0 & 0 & u_{33}\end{pmatrix}.
Calculemos:
  • k=1: u_{11}=a_{11}=2,\; u_{12}=a_{12}=1,\; u_{13}=a_{13}=0.
  • l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{2},\qquad l_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{0}{2}=0.
  • k=2: u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=6-\frac{1}{2}\cdot 1=6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}.
    u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=4-\frac{1}{2}\cdot 0=4.
  • l_{32}=\dfrac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\dfrac{4-0\cdot 1}{11/2}=\dfrac{4}{11/2}=\dfrac{8}{11}.
  • Finalmente u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23} =11-0-\frac{8}{11}\cdot 4=11-\frac{32}{11}=\frac{121-32}{11}=\frac{89}{11}.
Portanto u_{11}=2,\;u_{12}=1,\;u_{13}=0,\;l_{21}=\tfrac{1}{2},\;l_{31}=0,\;u_{22}=\tfrac{11}{2},\;u_{23}=4,\;l_{32}=\tfrac{8}{11},\;u_{33}=\tfrac{89}{11}.]

Resposta

a)
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{16} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt]0 & \tfrac{27}{16}\end{pmatrix}
b)
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]\tfrac{3}{5} & 1 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{5} & -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\[4pt]0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{17}{5}\\[4pt]0 & 0 & 13\end{pmatrix}
c)
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{8}{11} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]0 & \tfrac{11}{2} & 4\\[4pt]0 & 0 & \tfrac{89}{11}\end{pmatrix}]

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