Utilize a definição de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados:
e
em
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada parcial em relação a
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos ver como
muda quando aumentamos
um pouquinho, mantendo
fixo em
.
Passo 3
Vamos calcular
em
. Substituindo
e
na definição:
Primeiro, calculamos
:
E
:
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
em
. A definição de derivada parcial em relação a
é similar:
Primeiro, calculamos
:
E já sabemos que
.
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
no ponto
são: