Utilize a definição de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados:
g(x, y)=2 x-3 yx+y, partial gpartial x e partial gpartial y em (0,1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de uma função g(x, y) = 2x - 3yx + y em relação a x e y no ponto (0, 1) . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada parcial em relação a x . A derivada parcial de g em relação a x no ponto (a, b) é dada por:
partial gpartial x(a, b) = limh to 0 g(a + h, b) - g(a, b)h
Isso significa que vamos ver como g muda quando aumentamos x um pouquinho, mantendo y fixo em b .

Passo 3

Vamos calcular partial gpartial x em (0, 1) . Substituindo a = 0 e b = 1 na definição:
partial gpartial x(0, 1) = limh to 0 g(0 + h, 1) - g(0, 1)h
Primeiro, calculamos g(h, 1) :
g(h, 1) = 2h - 3(1)h + 1 = 2h - 3h + 1
E g(0, 1) :
g(0, 1) = 2(0) - 3(1)0 + 1 = -31 = -3
Substituindo na expressão da derivada:
partial gpartial x(0, 1) = limh to 0 2h - 3h + 1 - (-3)h = limh to 0 2h - 3h + 1 + 3h
Simplificando o numerador:
2h - 3 + 3(h + 1)h + 1 = 2h - 3 + 3h + 3h + 1 = 5hh + 1
Então:
partial gpartial x(0, 1) = limh to 0 5hh(h + 1) = limh to 0 5h + 1 = 50 + 1 = 5

Passo 4

Agora, vamos calcular partial gpartial y em (0, 1) . A definição de derivada parcial em relação a y é similar:
partial gpartial y(0, 1) = limk to 0 g(0, 1 + k) - g(0, 1)k
Primeiro, calculamos g(0, 1 + k) :
g(0, 1 + k) = 2(0) - 3(1 + k)0 + (1 + k) = -3 - 3k1 + k
E já sabemos que g(0, 1) = -3 .
Substituindo na expressão da derivada:
partial gpartial y(0, 1) = limk to 0 -3 - 3k1 + k - (-3)k = limk to 0 -3 - 3k + 3(1 + k)1 + kk
Simplificando o numerador:
-3 - 3k + 3 + 3k = 0
Então:
partial gpartial y(0, 1) = limk to 0 0k(1 + k) = 0

Resposta

As derivadas parciais da função g(x, y) = 2x - 3yx + y no ponto (0, 1) são:
partial gpartial x(0, 1) = 5 e partial gpartial y(0, 1) = 0

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