Utilize a definição para encontrar a Transformada de Laplace da função f(t)=\cos w t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=\cos(wt) usando a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Vamos denotar
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(wt)\,dt
e calcular I(s) por integração por partes, assumindo \Re(s)>0 para garantir a convergência.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(wt)\,dt.
Escolhemos
u=\cos(wt),\quad dv=e^{-st}dt,
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du=-w\sin(wt)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
A fórmula dá
I(s)=\Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du.

Passo 3

Avaliaremos o termo de fronteira e o segundo integral separadamente. Como \Re(s)>0, temos
\lim_{t\to\infty}e^{-st}\cos(wt)=0,
e em t=0, \cos(0)=1, logo
\Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty}=0-\Bigl(1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{s}\bigr)\Bigr)=\frac{1}{s}.
O segundo termo fica
-\int_{0}^{\infty}v\,du =-\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\bigl(-w\sin(wt)\bigr)dt =-\frac{w}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(wt)\,dt.
Portanto
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{w}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(wt)\,dt.

Passo 4

Definimos
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(wt)\,dt
e aplicamos integração por partes novamente com
u=\sin(wt),\quad dv=e^{-st}dt,
em que
du=w\cos(wt)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Temos
J(s)=\Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =\underbrace{0}_{t\to\infty}-\Bigl(0-\int_{0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\bigr)w\cos(wt)\,dt\Bigr) =\frac{w}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(wt)\,dt =\frac{w}{s}I(s).

Passo 5

Substituindo J(s)=\tfrac{w}{s}I(s) em
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{w}{s}J(s)
obtém-se
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{w}{s}\cdot\frac{w}{s}I(s) =\frac{1}{s}-\frac{w^{2}}{s^{2}}I(s).
Reagrupando os termos em I(s),
I(s)\Bigl(1+\frac{w^{2}}{s^{2}}\Bigr)=\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad I(s)\,\frac{s^{2}+w^{2}}{s^{2}}=\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad I(s)=\frac{s}{s^{2}+w^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos(wt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+w^{2}},\quad \Re(s)>0.

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