Utilize a derivação implícita para encontrar d yd x das seguintes equações:
(3) ln (x+y)=x-y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos dydx a partir da equação implícita
ln(x+y)=x-y
O conteúdo envolvido é derivação implícita, que usa a regra da cadeia para funções compostas e depois isola dydx.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Para o lado esquerdo,
ddxl[ln(x+y)r] =1x+y,ddx(x+y) =1x+yl(1+dydxr)
Para o lado direito,
ddxl[x-yr] =1-dydx
Logo obtemos
1x+yl(1+dydxr) =1-dydx

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+y) para eliminar o denominador:
1+dydx =(1-dydx),(x+y) =x+y-(x+y),dydx

Passo 4

Agora agrupamos os termos que contêm dydx num mesmo lado:
1+dydx+(x+y),dydx=x+y Longrightarrow 1+dydx,(1+x+y)=x+y

Passo 5

Isolando dydx:
dydx,(1+x+y)=x+y-1 Longrightarrow dydx =x+y-1x+y+1

Resposta

dydx=x+y-1x+y+1

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