Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
usando ferramentas de Cálculo: domínio, interceptos, comportamento nos extremos, derivada para pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Domínio e interceptos:
- Como é um polinômio, o domínio é todo
. - Intercepto em
: em ,
- Interceptos em
: resolvendo
Testando
vemos
, logo
é fator. Fazendo a divisão, obtém-se
de modo que as raízes são
(simples) e
(dupla). Assim, o gráfico toca (e não cruza) o eixo em
e cruza em
.
Passo 3
Pontos críticos e monotonia:
- A derivada é
- Zera em
. - Avaliando
- Classificação via segunda derivada ou sinal de
: - Para
, (função crescente). - Em
, (decrescente). - Em
, muda para ? Na verdade, para temos , então para a função é decrescente.
- Para
- Pelo sinal de
, em há mínimo local em e em há máximo local em .
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
- A segunda derivada é
- Muda de sinal na reta em
, pois - Para
, : concavidade para cima. - Para
, : concavidade para baixo.
- Para
- Logo
é ponto de inflexão (pois ).
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
- Como coeficiente de
é , e . - A função cresce para
, atinge mínimo em (toca o eixo ), desce até atingir máximo em , depois decresce indefinidamente. - Há ponto de inflexão em
, onde muda de concavidade para cima (à esquerda) para concavidade para baixo (à direita). - Cruza o eixo
em e intercepta o eixo em .
Com esses pontos e comportamentos marcados, basta traçar suavemente as curvas ligando-os, respeitando concavidades e monotonia.
Resposta
O gráfico de
é um polinômio cúbico com:
- Ramo esquerdo vindo de
em . - Cresce até o mínimo local em
, onde toca o eixo . - Desce e cruza o eixo
em (ponto de inflexão). - Continua subindo até o máximo local em
. - Depois decresce, cruza o eixo
em e vai para em .
A curva é côncava para cima eme para baixo em .