Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=2+3 x-x^3

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
f(x)=2+3x - x^3
usando ferramentas de Cálculo: domínio, interceptos, comportamento nos extremos, derivada para pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Domínio e interceptos:
  • Como é um polinômio, o domínio é todo R.
  • Intercepto em y: em x=0,
f(0)=2
  • Interceptos em x: resolvendo
2+3x - x^3 = 0
x^3 -3x -2 = 0
Testando x=2 vemos 8 -6 -2=0, logo x-2 é fator. Fazendo a divisão, obtém-se
(x-2)(x+1)^2 =0,
de modo que as raízes são x=2 (simples) e x=-1 (dupla). Assim, o gráfico toca (e não cruza) o eixo em (-1,0) e cruza em (2,0).

Passo 3

Pontos críticos e monotonia:
  • A derivada é
f'(x)=3 - 3x^2 = 3(1-x^2)
  • Zera em x=pm1.
  • Avaliando
f(-1)=2 +3(-1) -(-1)^3 =0, f(1)=2+3(1)-1=4
  • Classificação via segunda derivada ou sinal de f':
    • Para x<-1, f'>0 (função crescente).
    • Em -1<x<1, f'<0 (decrescente).
    • Em x>1, f'<0 muda para f'<0? Na verdade, para |x|>1 temos 1-x^2<0, então para x>1 a função é decrescente.
  • Pelo sinal de f', em x=-1 há mínimo local em (-1,0) e em x=1 há máximo local em (1,4).

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
  • A segunda derivada é
f''(x) = -6x
  • Muda de sinal na reta em x=0, pois
    • Para x<0, f''(x)>0: concavidade para cima.
    • Para x>0, f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Logo (0,2) é ponto de inflexão (pois f(0)=2).

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
  1. Como coeficiente de x^3 é -1, limxto-inftyf(x)=+infty e limxto+inftyf(x)=-infty.
  2. A função cresce para x<-1, atinge mínimo em (-1,0) (toca o eixo x), desce até atingir máximo em (1,4), depois decresce indefinidamente.
  3. Há ponto de inflexão em (0,2), onde muda de concavidade para cima (à esquerda) para concavidade para baixo (à direita).
  4. Cruza o eixo x em (2,0) e intercepta o eixo y em (0,2).
Com esses pontos e comportamentos marcados, basta traçar suavemente as curvas ligando-os, respeitando concavidades e monotonia.

Resposta

O gráfico de f(x)=2+3x - x^3 é um polinômio cúbico com:
  • Ramo esquerdo vindo de +infty em xto -infty.
  • Cresce até o mínimo local em (-1,0), onde toca o eixo x.
  • Desce e cruza o eixo y em (0,2) (ponto de inflexão).
  • Continua subindo até o máximo local em (1,4).
  • Depois decresce, cruza o eixo x em (2,0) e vai para -infty em xto+infty.
    A curva é côncava para cima em x<0 e para baixo em x>0.

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