Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=200+8 x^3+x^4

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
f(x)=200+8x^3+x^4
usando ferramentas do Cálculo: domínio, interceptos, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Determinar domínio e intercepto em y.
O domínio de qualquer polinômio é R.
O intercepto em y vem de f(0):
f(0)=200+8cdot0^3+0^4=200,
logo o ponto (0,200) aparece no gráfico.

Passo 3

Calcular f'(x), achar pontos críticos e estudar monotonicidade.
f'(x)=ddx(200+8x^3+x^4) =24x^2+4x^3 =4x^2(x+6)
As raízes de f'(x)=0 são x=0 (multiplicidade 2) e x=-6.
– Para x<-6, temos x+6<0 e x^2>0, logo f'<0 (função decrescente).
– Para -6<x<0, temos x+6>0, logo f'>0 (função crescente).
– Para x>0, x+6>0 continua, e x^2>0, então f'>0 (crescente).
Conclusão:
– Em x=-6 há troca dec to crec, isto é, um mínimo local.
– Em x=0 a derivada muda de zero de sinal positivo para positivo, portanto não há extremo, mas um platô.

Passo 4

Calcular f''(x), estudar concavidade e pontos de inflexão.
f''(x)=ddx(4x^2(x+6)) =12x(x+4)
As raízes de f''(x)=0 são x=-4 e x=0.
– Para x<-4, x<0 e x+4<0 Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
– Para -4<x<0, x<0 mas x+4>0 Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
– Para x>0, x>0 e x+4>0 Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
Logo há pontos de inflexão em
x=-4, f(-4)=256-512+200=-56, x=0, f(0)=200

Passo 5

Determinar interceptos em x (raízes de f(x)=0).
Resolvendo numericamente
x^4+8x^3+200=0
encontram-se duas raízes reais aproximadas por
xapprox -7,54 e xapprox -3,56
As outras duas raízes são complexas e não aparecem no gráfico real.

Passo 6

Síntese para esboço do gráfico:
  • Domínio: R.
  • Fim de ramo: limxtopminftyf(x)=+infty.
  • Interceptos: em y, (0,200); em x, aproximadamente (-7,54,0) e (-3,56,0).
  • Mínimo local em (-6,-232).
  • Pontos de inflexão em (-4,-56) e (0,200).
  • Monotonicidade: decrescente em (-infty,-6), crescente em (-6,infty).
  • Concavidade: côncavo para cima em (-infty,-4)cup(0,infty), côncavo para baixo em (-4,0).

Resposta

O esboço deve mostrar um “vale” em (-6,-232), cruzando o eixo x em -7,54 e -3,56, inflexão em (-4,-56), depois passando pelo ponto alto de inflexão/platô em (0,200) e subindo para +infty em ambas as extremidades.

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