Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
usando ferramentas do Cálculo: domínio, interceptos, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Determinar domínio e intercepto em
.
O domínio de qualquer polinômio é .
O intercepto em vem de
:
O domínio de qualquer polinômio é
O intercepto em
logo o ponto
aparece no gráfico.
Passo 3
Calcular
, achar pontos críticos e estudar monotonicidade.
As raízes de
são
(multiplicidade
) e
.
– Para , temos
e
, logo
(função decrescente).
– Para , temos
, logo
(função crescente).
– Para ,
continua, e
, então
(crescente).
Conclusão:
– Em há troca dec
crec, isto é, um mínimo local.
– Em a derivada muda de zero de sinal positivo para positivo, portanto não há extremo, mas um platô.
– Para
– Para
– Para
Conclusão:
– Em
– Em
Passo 4
Calcular
, estudar concavidade e pontos de inflexão.
As raízes de
são
e
.
– Para ,
e
(côncavo para cima).
– Para ,
mas
(côncavo para baixo).
– Para ,
e
(côncavo para cima).
Logo há pontos de inflexão em
– Para
– Para
– Para
Logo há pontos de inflexão em
Passo 5
Determinar interceptos em
(raízes de
).
Resolvendo numericamente
Resolvendo numericamente
encontram-se duas raízes reais aproximadas por
As outras duas raízes são complexas e não aparecem no gráfico real.
Passo 6
Síntese para esboço do gráfico:
- Domínio:
. - Fim de ramo:
. - Interceptos: em
, ; em , aproximadamente e . - Mínimo local em
. - Pontos de inflexão em
e . - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em . - Concavidade: côncavo para cima em
, côncavo para baixo em .
Resposta
O esboço deve mostrar um “vale” em
, cruzando o eixo
em
e
, inflexão em
, depois passando pelo ponto alto de inflexão/platô em
e subindo para
em ambas as extremidades.