Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que: cos theta cos phi=12[cos (theta-phi)+cos (theta+phi)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que cos theta cos phi = 12[cos (theta - phi) + cos (theta + phi)]. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, especificamente as fórmulas produto-soma. Para resolver, vamos usar as fórmulas de adição de ângulos que ajudam a transformar produtos de cossenos em somas de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de adição de ângulos para o cosseno:
cos (A pm B) = cos A cos B mp sin A sin B
Essas fórmulas nos permitem expressar o cosseno da soma ou diferença de dois ângulos em termos dos cossenos e senos dos ângulos individuais.

Passo 3

Agora, vamos escrever as duas expressões cos (theta - phi) e cos (theta + phi) usando as fórmulas de adição de ângulos:
cos (theta - phi) = cos theta cos phi + sin theta sin phi
cos (theta + phi) = cos theta cos phi - sin theta sin phi

Passo 4

Vamos somar essas duas equações:
cos (theta - phi) + cos (theta + phi) = (cos theta cos phi + sin theta sin phi) + (cos theta cos phi - sin theta sin phi)
Simplificando os termos, os termos com sin theta sin phi se cancelam:
cos (theta - phi) + cos (theta + phi) = 2 cos theta cos phi

Passo 5

Agora, para chegar na expressão que queremos, vamos dividir ambos os lados da equação por 2:
12 [cos (theta - phi) + cos (theta + phi)] = cos theta cos phi

Resposta

Portanto, mostramos que:
cos theta cos phi = 12 [cos (theta - phi) + cos (theta + phi)]

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