Utilize o método das fraçÔes parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
s^2+s+2(s^2+4)(s-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função s^2+s+2(s^2+4)(s-2) usando o método das frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo. Para isso, vamos precisar entender como quebrar frações complexas em frações mais simples e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração s^2+s+2(s^2+4)(s-2) como uma soma de frações parciais. Como o denominador é (s^2+4)(s-2), que são fatores distintos, assumimos a forma:
s^2+s+2(s^2+4)(s-2) = As + Bs^2+4 + Cs-2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (s^2+4)(s-2):
s^2+s+2 = (As + B)(s - 2) + C(s^2 + 4)
Agora, vamos expandir e combinar os termos:
s^2+s+2 = As(s) - 2As + B(s) - 2B + Cs^2 + 4C
s^2+s+2 = (A + C)s^2 + (B - 2A)s + (-2B + 4C)
Agora, igualamos os coeficientes de s^2, s e os termos constantes em ambos os lados:
  1. Para s^2: 1 = A + C
  2. Para s: 1 = B - 2A
  3. Para os termos constantes: 2 = -2B + 4C

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Da primeira equação:
1 = A + C Rightarrow A = 1 - C
Substituindo A na segunda equação:
1 = B - 2(1 - C) Rightarrow 1 = B - 2 + 2C Rightarrow B = 3 - 2C
Agora, substituindo A e B na terceira equação:
2 = -2(3 - 2C) + 4C Rightarrow 2 = -6 + 4C + 4C Rightarrow 2 = -6 + 8C
8 = 8C Rightarrow C = 1
Agora que temos C = 1, voltamos para encontrar A e B:
A = 1 - C = 1 - 1 = 0
B = 3 - 2C = 3 - 2(1) = 1

Passo 5

Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever as frações parciais:
s^2+s+2(s^2+4)(s-2) = 0 cdot s + 1s^2+4 + 1s-2 = 1s^2+4 + 1s-2

Passo 6

Vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
  1. Para 1s^2+4:
Sabemos que L^-11s^2+a^2 = 1asin(at). Aqui, a = 2, então:
L^-11s^2+4 = 12sin(2t)
  1. Para 1s-2:
Sabemos que L^-11s-a = e^at. Aqui, a = 2, então:
L^-11s-2 = e^2t

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:
L^-1s^2+s+2(s^2+4)(s-2) = 12sin(2t) + e^2t

Exercícios relacionados