Utilize o método das fraçÔes parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
usando o método das frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo. Para isso, vamos precisar entender como quebrar frações complexas em frações mais simples e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. Como o denominador é
, que são fatores distintos, assumimos a forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir e combinar os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de
,
e os termos constantes em ambos os lados:
- Para
: - Para
: - Para os termos constantes:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
e
na terceira equação:
Agora que temos
, voltamos para encontrar
e
:
Passo 5
Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever as frações parciais:
Passo 6
Vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
- Para
:
Sabemos que
. Aqui,
, então:
- Para
:
Sabemos que
. Aqui,
, então:
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função dada é: