Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 5 & 0 & 0\end{array}\right) \mathbf{X}+\left(\begin{array}{c}5 \\\\ -10 \\\\ 40\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf b
com
A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 5\\[6pt]0 & 5 & 0\\[6pt]5 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}5\\[3pt]-10\\[3pt]40\end{pmatrix}.
Vamos usar o método dos coeficientes: primeiro achamos uma solução particular constante \mathbf X_p e depois a solução geral do homogêneo \mathbf X_h.]

Passo 2

Supondo \mathbf X_p\) constante, temos \[0 = A\,\mathbf X_p + \mathbf b \quad\Longrightarrow\quad A\,\mathbf X_p = -\,\mathbf b.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 5\cdot x_3 = -5,\\[3pt] 0\cdot x_1 + 5\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 10,\\[3pt] 5\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = -40. \end{cases}
Da primeira equação vem x_3=-1\], da segunda \(x_2=2 e da terceira x_1=-8. Logo
\mathbf X_p = \begin{pmatrix}-8\\[3pt]2\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o homogêneo é
\mathbf X' = A\,\mathbf X.
Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 5\\[3pt]0 & 5-\lambda & 0\\[3pt]5 & 0 & -\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(\lambda^2-25) =0,
cuja raiz dupla é \lambda=5 e a simples é \lambda=-5.]

Passo 4

Para \lambda=5 resolvemos (A-5I)\mathbf v=0:
\begin{pmatrix}-5 & 0 & 5\\[3pt]0 & 0 & 0\\[3pt]5 & 0 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; v_1=v_3,\;v_2\text{ livre}.
Dois vetores independentes são
\mathbf v^{(1)}=(1,0,1)^T e \mathbf v^{(2)}=(0,1,0)^T.
Para \lambda=-5 resolvemos (A+5I)\mathbf v=0 e obtemos
\mathbf v^{(3)}=(1,0,-1)^T.]

Passo 5

A solução geral do homogêneo é
\mathbf X_h(t) = C_1\,e^{5t}\,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{5t}\,\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3\,e^{-5t}\,\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 6

A solução geral do sistema não homogêneo é
\mathbf X(t) = \mathbf X_h(t) + \mathbf X_p.

Resposta

\mathbf X(t) = \begin{pmatrix}-8\\[3pt]2\\[3pt]-1\end{pmatrix} + C_1\,e^{5t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{5t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3\,e^{-5t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.]

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