Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado. \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 5 & 0 & 0\end{array}\right) \mathbf{X}+\left(\begin{array}{c}5 \\\\ -10 \\\\ 40\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf b
com
A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 5\\[6pt]0 & 5 & 0\\[6pt]5 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}5\\[3pt]-10\\[3pt]40\end{pmatrix}.
Vamos usar o método dos coeficientes: primeiro achamos uma solução particular constante \mathbf X_p e depois a solução geral do homogêneo \mathbf X_h.]
Passo 2
Supondo \mathbf X_p\) constante, temos
\[0 = A\,\mathbf X_p + \mathbf b \quad\Longrightarrow\quad A\,\mathbf X_p = -\,\mathbf b.
Dois vetores independentes são \mathbf v^{(1)}=(1,0,1)^T e \mathbf v^{(2)}=(0,1,0)^T.
Para \lambda=-5 resolvemos (A+5I)\mathbf v=0 e obtemos \mathbf v^{(3)}=(1,0,-1)^T.]