Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}-1 & 5 \\\\ -1 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{\operatorname{sen} t}{-2 \cos t}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não homogêneo
\mathbf{X}'=A\mathbf{X}+\mathbf{f}(t), \quad A=\begin{pmatrix}-1&5\\\ -1&1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\\ -2\cos t\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é sistemas lineares e o método dos coeficientes indeterminados: primeiro obtemos a solução geral do homogêneo e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea calculamos
A^2 =\begin{pmatrix}-1&5\\\ -1&1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}-4&0\\\ 0&-4\end{pmatrix} =-4I,
o que implica pela série de Taylor que
e^{At} =I\cos2t+\frac{A}{2}\sin2t.
Logo a solução geral do homogêneo é
\mathbf{X}_h(t) =e^{At}\mathbf{C} =\Bigl(I\cos2t+\tfrac{A}{2}\sin2t\Bigr)\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix}.

Passo 3

Proponho um particular da forma
\mathbf{X}_p(t)=a\sin t+b\cos t, \quad a=\begin{pmatrix}A_1\A_2\end{pmatrix},\;b=\begin{pmatrix}B_1\B_2\end{pmatrix}.
Substituindo e agrupando coeficientes de \sin t e \cos t em cada componente gera o sistema
\begin{cases} A_1 - B_1 -5A_2 =1,\\\ A_1 + B_1 -5B_2 =0,\\\ A_1 - A_2 - B_2 =0,\\\ A_2 + B_1 - B_2 =-2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema obtemos
A_1=-\tfrac{1}{3},\; A_2=\tfrac{1}{3},\; B_1=-3,\; B_2=-\tfrac{2}{3}.
Portanto
\mathbf{X}_p(t) =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3}\sin t-3\cos t\\[6pt] \tfrac{1}{3}\sin t-\tfrac{2}{3}\cos t \end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é
\mathbf{X}(t) =\mathbf{X}_h(t)+\mathbf{X}_p(t).

Resposta

\mathbf{X}(t) =\Bigl(\cos2t\,I+\tfrac{\sin2t}{2}A\Bigr)\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3}\sin t-3\cos t\\[6pt] \tfrac{1}{3}\sin t-\tfrac{2}{3}\cos t \end{pmatrix}.]

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