Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
dessa equação. Informações relevantes: é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo (lado direito) é
. A tarefa é encontrar uma função
que satisfaça a igualdade para todo
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica (obtida substituindo
):
Resolvendo a equação quadrática: calcule o discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara,
Quando as raízes são
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui
e
, portanto
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
para a equação completa. O lado direito é
. A regra prática (método de constantes a determinar) diz que, se o termo não-homogêneo é da forma
com
polinômio, devemos tentar um ansatz do mesmo tipo multiplicado por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui
. Como
NÃO é raiz da característica
, temos
. Portanto tentamos a forma mais simples:
onde
é constante a determinar. (Se
fosse raiz simples, teríamos tentado
; se fosse raiz dupla,
, etc. — essa é a ideia geral.)
Passo 4
Calcule as derivadas de
e substitua na equação para determinar
.
Substituindo em
:
Fatorando
(que nunca é zero),
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo as expressões encontradas,
onde
e
são constantes arbitrárias reais.