Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+11 y=36 e^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+11y=36e^{x}
e pede a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes: é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo (lado direito) é 36e^{x}. A tarefa é encontrar uma função y(x) que satisfaça a igualdade para todo x.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+11y=0.
Para isso usamos a equação característica (obtida substituindo y=e^{rx}):
r^{2}+6r+11=0.
Resolvendo a equação quadrática: calcule o discriminante
\Delta = 6^{2}-4\cdot1\cdot11 = 36-44 = -8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara,
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-8}}{2} = -3 \pm i\sqrt{2}.
Quando as raízes são r=\alpha\pm i\beta, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui \alpha=-3 e \beta=\sqrt{2}, portanto
y_{h}(x)=e^{-3x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x)\big).

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p}(x) para a equação completa. O lado direito é 36e^{x}. A regra prática (método de constantes a determinar) diz que, se o termo não-homogêneo é da forma P(x)e^{ax} com P polinômio, devemos tentar um ansatz do mesmo tipo multiplicado por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz r=a na equação característica. Aqui a=1. Como r=1 NÃO é raiz da característica r^{2}+6r+11, temos m=0. Portanto tentamos a forma mais simples:
y_{p}(x)=A e^{x},
onde A é constante a determinar. (Se r=1 fosse raiz simples, teríamos tentado Ax e^{x}; se fosse raiz dupla, Ax^{2}e^{x}, etc. — essa é a ideia geral.)

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{p} e substitua na equação para determinar A.
y_{p}^{\prime}(x)=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime\prime}(x)=A e^{x}.
Substituindo em y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+11y=36e^{x}:
A e^{x} + 6A e^{x} + 11A e^{x} = 36e^{x}.
Fatorando e^{x} (que nunca é zero),
(1+6+11)A\,e^{x} = 36e^{x}\quad\Longrightarrow\quad 18A = 36.
Logo
A=2.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=2e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo as expressões encontradas,
y(x)=e^{-3x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x)\big)+2e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(x)=e^{-3x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x)\big)+2e^{x}

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