Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p)=0, onde f(x)=x^4+2 x^2-x-3.

Passo 1

Beleza, o que a gente quer aqui é mostrar que a função
g2(x)=raizx+3 - x^42
tem ponto fixo em f(p)=p^4+2p^2 - p -3 = 0 (ou seja, ) se e somente se
O conteúdo é “ponto fixo” e “manipulação algébrica”: a ideia é usar a definição de ponto fixo e depois isolar e rearranjar pra chegar em . Vamos precisar só de álgebra básica (somar, multiplicar, isolar) e de entender que é a raiz não negativa.

Passo 2

Definição de ponto fixo: g2(p)=p é ponto fixo de p = raizp+3 - p^42 quando

Então escrevemos
Como o lado direito é uma raiz quadrada, sabemos que .

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado dos dois lados (atenção: isso exige p^2 = p + 3 - p^42 , mas já sabemos disso):
2p^2 = p + 3 - p^4 Longrightarrow p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0
Multiplicando por 2 e passando tudo para um lado,
g2(p)=p ;Longrightarrow; f(p)=0
Pronto: isso é exatamente . Então mostramos

Passo 4

Fazendo o caminho inverso, se p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0 ;Longrightarrow; 2p^2 = p + 3 - p^4 ;Longrightarrow; p^2 = p+3 - p^42 ;Longrightarrow; raizp+3 - p^42 = raizp^2 = |p| então
Mas a definição de usa a raiz não negativa, então
. Para termos preciso de .
Logo, sob essa condição implica .

Resposta

A função f(p)=p^4+2p^2 - p - 3 = 0 tem ponto fixo em se, e somente se,

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