Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em
precisamente quando
, onde
.
Passo 1
Beleza, o que a gente quer aqui é mostrar que a função
tem ponto fixo em
O conteúdo é “ponto fixo” e “manipulação algébrica”: a ideia é usar a definição de ponto fixo e depois isolar e rearranjar pra chegar em
. Vamos precisar só de álgebra básica (somar, multiplicar, isolar) e de entender que
é a raiz não negativa.
Passo 2
Definição de ponto fixo:
é ponto fixo de
quando
Então escrevemos
Como o lado direito é uma raiz quadrada, sabemos que
.
Passo 3
Agora elevamos ao quadrado dos dois lados (atenção: isso exige
, mas já sabemos disso):
Multiplicando por 2 e passando tudo para um lado,
Pronto: isso é exatamente
. Então mostramos
Passo 4
Fazendo o caminho inverso, se
então
Mas a definição de
usa a raiz não negativa, então
. Para termos
preciso de
.
Logo, sob essa condição implica
.
Logo, sob essa condição
Resposta
A função
tem ponto fixo em
se, e somente se,