Enquanto em x=0 temos C_{A}(0, t)=1. A concentração inicial é C_{A}(x, 0)=0.
a) Se discretizarmos espaço com o método das diferenças finitas e usarmos Euler Explícito para a parte temporal, quais são as equações necessárias para calcular a concentrações C_{i}^{(k)} em cada nó i no passo de integração k ?
b) Se ao invés disso usarmos Euler Implícito, qual é o vetor residual e o Jacobiano do sistema não-linear?
Condições de contorno e inicial: \left.\frac{\partial C_{A}}{\partial x}\right|_{x=L}=0, \;C_{A}(0,t)=1, \;C_{A}(x,0)=0.
Vou discretizar o espaço em nós igualmente espaçados i=0,1,\dots,N com \Delta x = L/N. Assim x_i = i\Delta x. O nó i=0 corresponde a x=0 (Dirichlet) e i=N a x=L (Neumann).
Denoto por \;C_i^{(k)} a aproximação de C_A(x_i,t_k), com passo temporal \Delta t e t_k = k\Delta t.
Decidimos que o vetor de incógnitas por passo temporal será \;[C_1^{(k)},C_2^{(k)},\dots,C_N^{(k)}]^T. O valor \;C_0^{(k)} é conhecido (Dirichlet = 1) e será usado como dado.
Passo 2
Discretização espacial (diferenças finitas) — explicando a fórmula e o tratamento da Neumann.
Para o termo de segunda derivada usamos a diferença central clássica, que para um nó interior i dá (erro O(\Delta x^2)):
Explicação rápida: essa fórmula vem da soma das expansões de Taylor de C_{i\pm1} e cancelamento dos termos ímpares. É a escolha natural porque é simétrica e de segunda ordem em \Delta x.
Condição de Neumann \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{x=L}=0 no nó i=N: usamos um ponto fantasma C_{N+1} e a aproximação central da derivada:
Lembrando que \;C_0^{(k+1)}=1 (condição de contorno fixa).
Observação prática (didática): esse esquema é simples de implementar nó-a-nó, mas é condicionalmente estável; para parte difusiva linear a condição CFL (aproximação) é \Delta t \lesssim \Delta x^{2}/(2D) — com reação a condição pode ficar ainda mais restritiva.
Passo 4
Euler Implícito — definição do residual para o sistema não-linear (início da resposta b)).
Euler implícito (backward Euler) aproxima \partial C/\partial t por diferença backward:
Aqui as quantidades espaciais aparecem avaliadas no novo passo k, o que leva a um sistema não-linear por causa do termo -k(C_i^{(k)})^{2}.
Definimos o vetor incógnita no passo k como \mathbf{C}^{(k)}=[C_1^{(k)},\dots,C_N^{(k)}]^T. O vetor conhecido do passo anterior é \mathbf{C}^{(k-1)}.
Definimos o residual componente a componente R_i(\mathbf{C}^{(k)}) tal que a solução do sistema implícito satisfaz R_i(\mathbf{C}^{(k)})=0. Para i=1,\dots,N-1 (nós interiores):
Observação: C_0^{(k)}=1 é conhecida e, se aparecer em R_1, deve ser colocada no termo explícito (não é incógnita). Assim o sistema não-linear tem dimensão N (ou N incógnitas listadas).
Passo 5
Jacobiano do sistema não-linear (continuação da resposta b)) — cálculo dos elementos e estrutura.
O Jacobiano \mathbf{J} tem entradas J_{ij}=\partial R_i/\partial C_j avaliadas no chute atual (ou na solução, quando convergir). Vamos derivar as entradas para nós interiores i=1,\dots,N-1: usando a forma expandida do residual (para clareza):
Observação prática (didática): ao montar \mathbf{R} e \mathbf{J} para uma iteração de Newton, avalie C_i^{(k)} no chute atual para obter os termos 2\Delta t\,k\,C_i^{(k)} no diagonal; resolva \mathbf{J}\,\delta = -\mathbf{R} para a correção \delta e atualize \mathbf{C}\leftarrow\mathbf{C}+\delta.]