1. Dada tabela dos valores:
x -1 0 1 2 3
y -3 2 1 0 \alpha
Determine o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio do terceiro grau.

Passo 1

O enunciado dá os pares ordenados (valores de x e y) na tabela:
\begin{array}{l|l|l|l|l|l} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\ \hline y & -3 & 2 & 1 & 0 & \alpha \end{array}
e pede: determinar o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio de grau 3.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos cinco pontos: (-1,-3), (0,2), (1,1), (2,0) e (3,\alpha).
  • O polinômio é de grau \,3, portanto tem quatro coeficientes desconhecidos (quatro graus de liberdade).
  • Como existem quatro coeficientes, quatro pontos determinam o polinômio; o quinto ponto deve ser consistente com esse polinômio — isso vai permitir achar \alpha.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): vamos escrever o polinômio geral de grau 3 com coeficientes desconhecidos, usar quatro dos pontos para determinar esses coeficientes e, por fim, avaliar o polinômio em x=3 para obter \alpha.
Primeiro, escrevemos o polinômio geral de grau 3:
y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
onde a, b, c e d são números reais desconhecidos que precisamos encontrar. Cada ponto (x,y) dá uma equação linear em a,b,c,d ao substituir x e y.

Passo 3

Escolhemos pontos que geram equações simples. O ponto (0,2) é muito conveniente porque, ao substituir x=0, todos os termos com x desaparecem e obtemos imediatamente d.
Substituindo (0,2) em y(x):
2 = a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0 + d \;\Rightarrow\; d=2.
Agora usamos os pontos (1,1), (-1,-3) e (2,0) para formar mais três equações. Substituindo cada um em y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d e lembrando que d=2:
Para (1,1):
1 = a\cdot 1^{3} + b\cdot 1^{2} + c\cdot 1 + d
\Rightarrow\; 1 = a + b + c + 2 \;\Rightarrow\; a + b + c = -1. \tag{1}
Para (-1,-3):
-3 = a\cdot (-1)^{3} + b\cdot (-1)^{2} + c\cdot (-1) + d
\Rightarrow\; -3 = -a + b - c + 2 \;\Rightarrow\; -a + b - c = -5. \tag{2}
Para (2,0):
0 = a\cdot 2^{3} + b\cdot 2^{2} + c\cdot 2 + d
\Rightarrow\; 0 = 8a + 4b + 2c + 2 \;\Rightarrow\; 8a + 4b + 2c = -2. \tag{3}
Assim temos o sistema linear (em a,b,c):
\begin{cases} a + b + c = -1, & (1)\\[4pt] - a + b - c = -5, & (2)\\[4pt] 8a + 4b + 2c = -2. & (3) \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema passo a passo (eliminação simples). Primeiro somamos as equações (1) e (2) para eliminar a e c:
(a + b + c) + (-a + b - c) = -1 + (-5).
No lado esquerdo a e -a cancelam, c e -c cancelam, sobrando 2b. No lado direito obtemos -6. Logo:
2b = -6 \;\Rightarrow\; b = -3.
Substituímos b=-3 em (1):
a + (-3) + c = -1 \;\Rightarrow\; a + c = 2 \;\Rightarrow\; c = 2 - a. \tag{4}
Agora substituímos b=-3 e c=2-a na equação (3):
8a + 4(-3) + 2(2 - a) = -2.
Calculando os termos:
8a -12 +4 -2a = -2 \;\Rightarrow\; 6a -8 = -2.
Isolando a:
6a = 6 \;\Rightarrow\; a = 1.
Com a=1, da equação (4) obtemos:
c = 2 - a = 2 - 1 = 1.
Portanto os coeficientes são:
a=1,\quad b=-3,\quad c=1,\quad d=2.

Passo 5

Escrevemos o polinômio encontrado e avaliamos em x=3 para obter \alpha:
y(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2.
Avaliação em x=3:
\alpha = y(3) = 3^{3} - 3\cdot 3^{2} + 3 + 2.
Calculando passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27,
então
\alpha = 27 - 27 + 3 + 2 = 5.
(Fazendo uma checagem rápida: esse polinômio retorna os valores dados nos outros pontos: y(0)=2, y(1)=1, y(2)=0, y(-1)=-3, portanto está consistente.)

Resposta

\alpha = 5

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