e pede: determinar o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio de grau 3.
Informações relevantes do enunciado:
Temos cinco pontos: (-1,-3), (0,2), (1,1), (2,0) e (3,\alpha).
O polinômio é de grau \,3, portanto tem quatro coeficientes desconhecidos (quatro graus de liberdade).
Como existem quatro coeficientes, quatro pontos determinam o polinômio; o quinto ponto deve ser consistente com esse polinômio — isso vai permitir achar \alpha.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): vamos escrever o polinômio geral de grau 3 com coeficientes desconhecidos, usar quatro dos pontos para determinar esses coeficientes e, por fim, avaliar o polinômio em x=3 para obter \alpha.
Primeiro, escrevemos o polinômio geral de grau 3:
y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
onde a, b, c e d são números reais desconhecidos que precisamos encontrar. Cada ponto (x,y) dá uma equação linear em a,b,c,d ao substituir x e y.
Passo 3
Escolhemos pontos que geram equações simples. O ponto (0,2) é muito conveniente porque, ao substituir x=0, todos os termos com x desaparecem e obtemos imediatamente d.
Substituindo (0,2) em y(x):
2 = a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0 + d \;\Rightarrow\; d=2.
Agora usamos os pontos (1,1), (-1,-3) e (2,0) para formar mais três equações. Substituindo cada um em y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d e lembrando que d=2:
Para (1,1):
1 = a\cdot 1^{3} + b\cdot 1^{2} + c\cdot 1 + d
\Rightarrow\; 1 = a + b + c + 2 \;\Rightarrow\; a + b + c = -1. \tag{1}