1. Transforme a equação
y^{\prime \prime}(x)=y^{\prime}(x)^{2} e^{y(x)}-y(x) e^{x}+x \sin (x)
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''(x)=y'(x)^{2} e^{y(x)}-y(x) e^{x}+x \sin(x)
e pede para transformá‑la em um sistema equivalente de equações da primeira ordem.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Aparecem derivadas até a segunda ordem: y'(x) e y''(x).
  • O lado direito depende de x, de y(x) e de y'(x).
  • Não foram dadas condições iniciais (mas podemos comentar como elas seriam incorporadas).\n
    O que é pedido:
  • Escrever um sistema de equações de ordem um que seja equivalente à equação dada.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma equação diferencial de segunda ordem em y, uma técnica padrão para transformá‑la em um sistema de primeira ordem é introduzir novas variáveis que representem y e sua primeira derivada. Isso evita trabalhar diretamente com derivadas de ordem maior e facilita análises e métodos numéricos. Vou mostrar passo a passo como fazer isso e por que a transformação é equivalente.\n
Conceito usado: se definirmos duas funções u_1(x) e u_2(x) por
u_1(x)=y(x),\qquad u_2(x)=y'(x),
então u_1'(x)=y'(x)=u_2(x) e u_2'(x)=y''(x). Substituindo y e y' em termos de u_1 e u_2, podemos escrever u_2' usando o lado direito da equação original. Essa é a transformação padrão e muito útil na prova e em métodos numéricos.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: defina explicitamente as novas variáveis
u_1(x)=y(x)
e
u_2(x)=y'(x).
Agora calcule as derivadas de u_1 e u_2 em termos de u_1 e u_2. Pela definição,
u_1'(x)=\frac{d}{dx}u_1(x)=\frac{d}{dx}y(x)=y'(x)=u_2(x).
E
u_2'(x)=\frac{d}{dx}u_2(x)=\frac{d}{dx}y'(x)=y''(x).

Passo 4

Substitua y, y' e y'' na equação original usando u_1 e u_2. A equação original é
y''(x)=y'(x)^{2} e^{y(x)}-y(x) e^{x}+x \sin(x).
Troque y''(x) por u_2'(x), y'(x) por u_2(x) e y(x) por u_1(x). Assim obtemos
u_2'(x)=u_2(x)^{2} e^{u_1(x)}-u_1(x) e^{x}+x \sin(x).

Passo 5

Juntando as duas equações de primeira ordem que obtivemos, o sistema equivalente fica:
u_1'(x)=u_2(x),
u_2'(x)=u_2(x)^{2} e^{u_1(x)}-u_1(x) e^{x}+x \sin(x).
Este sistema é equivalente à equação original no sentido seguinte: se y(x) é solução da equação de segunda ordem, então (u_1(x),u_2(x))=(y(x),y'(x)) satisfaz esse sistema; reciprocamente, se uma solução (u_1,u_2) do sistema tem u_1 duas vezes diferenciável e u_2=u_1', então u_1 é solução da equação original. Portanto não perdemos informação com a transformação.

Passo 6

Observações úteis para prova e aplicação prática:
  • Se existirem condições iniciais para a equação original, por exemplo y(x_0)=y_0 e y'(x_0)=y_0', elas se traduzem diretamente em condições para o sistema:
u_1(x_0)=y_0,\qquad u_2(x_0)=y_0'.
  • Esse procedimento funciona para qualquer EDO de ordem n: introduzimos n variáveis u_1=y,\;u_2=y',\;\dots,\;u_n=y^{(n-1)} e escrevemos u_i'=u_{i+1} para i=1,\dots,n-1 e uma última equação para u_n' usando a equação original.
  • Exemplo rápido e simples para fixar: se tivéssemos y''=-y, o sistema seria
u_1'=u_2,\qquad u_2'=-u_1,
que você talvez reconheça como o sistema que descreve oscilações harmônicas (seno e cosseno).

Resposta

u_1'(x)=u_2(x)
u_2'(x)=u_2(x)^{2} e^{u_1(x)}-u_1(x) e^{x}+x \sin(x)

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