Questão 1. Considere a equação não linear f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-1=0.
a) Mostre analiticamente que existe pelo menos uma raiz real para esta equação em um intervalo específico. Utilize o Teorema do Valor Intermediário e/ou o Teorema de Bolzano.
b) Escolha um método iterativo (e.g , Newton-Raphson, Secante ou Ponto Fixo). Analise as condições de convergência local do método escolhido para encontrar uma raiz, justificando a escolha de um ponto inicial adequado. Discuta a ordem de convergência.
c) Proponha uma reformulaçāo da equação para ser resolvida pelo método do Ponto Fixo x=g(x). Analise se a função g(x) atende às condições do Teorema do Ponto Fixo em um intervalo de interesse e discuta a convergência.

Passo 1

O enunciado dá a equação não linear \,f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x-1=0\, e pede três coisas:
  1. (a) Mostrar analiticamente que existe pelo menos uma raiz real em algum intervalo específico, usando o Teorema do Valor Intermediário / Bolzano.
  2. (b) Escolher um método iterativo (por exemplo Newton-Raphson, Secante ou Ponto Fixo), analisar as condições de convergência local do método escolhido para encontrar uma raiz, justificar a escolha de um ponto inicial adequado e discutir a ordem de convergência.
  3. (c) Propor uma reformulação x=g(x) para aplicar o método do Ponto Fixo, analisar se g satisfaz as condições do Teorema do Ponto Fixo em um intervalo de interesse e discutir a convergência.
Informações úteis dadas pela equação (que vamos usar):
  • A função é f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x-1.
  • Podemos calcular derivadas: f'(x)=3x^{2}-6x+2 e f''(x)=6x-6.
  • A função é polinomial (continua e diferenciável em toda \mathbb{R}), então os teoremas que exigem continuidade e derivabilidade se aplicam.

Passo 2

(a) Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) para garantir pelo menos uma raiz em um intervalo.
A ideia do Teorema do Valor Intermediário é: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  1. Primeiro calculamos f em pontos inteiros fáceis de avaliar:
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+2\cdot2-1=8-12+4-1=-1.
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}+2\cdot3-1=27-27+6-1=5.
  1. Observamos que f(2)=-1<0 e f(3)=5>0. Como f é polinomial, é contínua em [2,3].
  2. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um r\in(2,3) tal que f(r)=0.
Comentário amigo: pronto! Isso já garante que há pelo menos uma raiz real entre 2 e 3. (Cúmulo da alegria: é uma cúspide simples — uma mudança de sinal bastou.)

Passo 3

(b) Escolha do método: Newton–Raphson. Vou explicar o método, a condição de convergência local e justificar um ponto inicial.
  1. Fórmula do método de Newton–Raphson:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Explicando: em cada iteração usamos a reta tangente a f em x_n e tomamos sua interseção com o eixo x como aproximação x_{n+1}. É uma receita muito usada porque converge rápido quando as condições ideais são satisfeitas.
  1. Condições teóricas de convergência local (intuição e enunciado do teorema local):
    Se f é C^2 numa vizinhança de uma raiz simples r (ou seja, f(r)=0 e f'(r)\neq0), então existe uma vizinhança I de r tal que, para qualquer x_0\in I, a sequência (x_n) definida por Newton converge para r. Além disso a convergência é de ordem 2 (quadrática): o erro satisfaz aproximadamente
e_{n+1}\approx C\,e_n^2,
com e_n=x_n-r e C=\dfrac{f''(r)}{2f'(r)}. Isso significa que, uma vez perto da raiz, os dígitos corretos dobram a cada iteração (na prática: converge muito rápido).
  1. Verificação das hipóteses para nossa função:
  • f é polinomial, logo C^2 em \mathbb{R}.
  • Do Passo 2 sabemos que existe uma raiz r\in(2,3). Para aplicar Newton precisamos de f'(r)\neq0. Vamos verificar f' no intervalo [2,3]:
f'(x)=3x^{2}-6x+2.
Calculemos nas extremidades:
f'(2)=3\cdot4-12+2=12-12+2=2>0,
f'(3)=3\cdot9-18+2=27-18+2=11>0.
Como f' é contínua, f'(x)>0 para todo x\in[2,3]. Em particular, para a raiz r\in(2,3) temos f'(r)>0. Portanto a raiz é simples e as hipóteses do teorema local de Newton são satisfeitas.
  1. Escolha do ponto inicial x_0:
    Uma boa prática é escolher x_0 dentro do intervalo onde sabemos que a raiz existe; aqui escolho x_0=2,5 (centro de (2,3)). Razões práticas:
  • x_0\in(2,3), onde f' não se anula (evita divisão por zero).
  • Um palpite no meio do intervalo costuma ser suficientemente próximo para o teorema local garantir convergência.
  1. Demonstração numérica de algumas iterações (para ver que realmente converge e quão rápido):
    Calculemos f(2,5) e f'(2,5):
f(2{,}5)=15{,}625-18{,}75+5-1=0{,}875,
f'(2{,}5)=3\cdot6{,}25-6\cdot2{,}5+2=18{,}75-15+2=5{,}75.
Aplicando Newton:
x_1=2{,}5-\frac{0{,}875}{5{,}75}\approx2{,}347826087.
Calcule f(x_1) (apenas para ver a queda do erro):
o valor de f(x_1) fica aproximadamente 0{,}100. Em seguida,
x_2\approx x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx2{,}3249\ldots
Já vemos que o erro diminuiu muito em duas iterações; Newton mostra sua convergência quadrática aqui.
  1. Ordem de convergência:
    Como explicado, quando f'(r)\neq0 e f\in C^2 perto de r, Newton tem ordem de convergência \,p=2 (quadrática). Isso significa que, quando estamos suficientemente perto da raiz, os erros obedecem à relação
e_{n+1} \approx \frac{f''(r)}{2f'(r)}\,e_n^2.
Comentário prático e encorajador: Newton é rápido, mas para ser robusto precisa de um x_0 razoavelmente próximo; aqui x_0=2{,}5 funciona bem.

Passo 4

(b) — Observações adicionais (prevenir armadilhas e comparar com outros métodos)
  1. Secante: tem ordem \approx1{,}618 (superior à de métodos lineares, mas inferior à quadrática do Newton). Requer duas estimativas iniciais; pode ser útil se f' for difícil de calcular. No nosso caso, f' é simples, então Newton é mais atraente.
  2. Ponto Fixo: pode convergir lentamente (geralmente linear) a menos que se construa um g com constante de contração pequena; por isso Newton é preferível se quer velocidade.
  3. Risco de Newton: se f'(x_n) estiver próximo de zero em alguma iteração ou se x_0 for muito longe da raiz, o método pode divergir; por isso escolhemos x_0 no intervalo (2,3) onde f' é bounded away from zero (aqui f'(x)\ge 2 em x=2 e cresce depois).

Passo 5

(c) Propondo uma reformulação para Ponto Fixo e analisando convergência.
Queremos escrever x=g(x) tal que as soluções fixas de g coincidam com as raízes de f. A equação original é
x^{3}-3x^{2}+2x-1=0.
Uma forma natural é isolar x como raiz cúbica:
x^{3}=3x^{2}-2x+1 \quad\Longrightarrow\quad x=\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{1/3}.
Definimos, portanto,
g(x)=\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{1/3}.
(Em palavras: eu movi os termos de modo que o membro direito fica um polinômio e tomei a raiz cúbica.)

Passo 6

(c) Verificando as condições do Teorema do Ponto Fixo (contracção) para g em um intervalo adequado.
O Teorema do Ponto Fixo (Banach) diz: se g é contínua em [a,b], g([a,b])\subset[a,b] e existe L\in[0,1) tal que |g'(x)|\le L para todo x\in[a,b], então g tem um único ponto fixo em [a,b] e as iterações x_{n+1}=g(x_n) convergem para esse fixo para qualquer x_0\in[a,b]. Além disso a convergência é linear com razão \le L.
  1. Calculamos g'(x) (usando derivação de potências e cadeia):
g(x)=\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{1/3},
g'(x)=\frac{1}{3}\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-2/3}\cdot(6x-2) =\frac{6x-2}{3\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{2/3}}.
Explicando cada peça: o numerador 6x-2 vem da derivada do polinômio interno 3x^{2}-2x+1; o fator \frac{1}{3} vem da derivada de u^{1/3}; o denominador mostra que derivada fica menor quando o termo interno é grande (bom para contracção).
  1. Escolha de um intervalo onde testar a contração:
    Já sabemos que a raiz r está em (2,3). Tomemos o intervalo compacto [2,2{,}5]. Esse intervalo contém um aproximado da raiz (pois r\approx2{,}3247) e é pequeno o suficiente para controlar g'.
  2. Mostrar que g([2,2{,}5])\subset[2,2{,}5] (mapeamento em si mesmo):
  • Calculemos g(2)=\bigl(3\cdot2^{2}-2\cdot2+1\bigr)^{1/3}=\bigl(12-4+1\bigr)^{1/3}=9^{1/3}\approx2{,}0801.
  • Calculemos g(2{,}5)=\bigl(3\cdot2{,}5^{2}-2\cdot2{,}5+1\bigr)^{1/3}=\bigl(18{,}75-5+1\bigr)^{1/3}=14{,}75^{1/3}\approx2{,}467.
    Portanto g([2,2{,}5])\subset[2{,}0801,2{,}467]\subset[2,2{,}5]. Logo g mapeia o intervalo em si mesmo.
  1. Estimar |g'(x)| em [2,2{,}5]:
    Vamos obter um limite superior numérico simples. Para x\in[2,2{,}5]:
  • O numerador |6x-2| varia entre 6\cdot2-2=10 e 6\cdot2{,}5-2=13, então 10\le 6x-2\le13.
  • O termo interno h(x)=3x^{2}-2x+1 varia entre h(2)=9 e h(2{,}5)=14{,}75. Então 9\le h(x)\le14{,}75.
  • Assim \bigl(h(x)\bigr)^{2/3} varia entre 9^{2/3} e 14{,}75^{2/3}. Calculando numericamente:
9^{1/3}\approx2{,}0801\Rightarrow 9^{2/3}\approx(2{,}0801)^{2}\approx4{,}326;
14{,}75^{1/3}\approx2{,}467\Rightarrow 14{,}75^{2/3}\approx(2{,}467)^{2}\approx6{,}085.
  • Portanto, o denominador 3\bigl(h(x)\bigr)^{2/3} está entre 3\cdot4{,}326\approx12{,}978 e 3\cdot6{,}085\approx18{,}255.
  • Assim |g'(x)|\le \dfrac{13}{12{,}978}\approx0{,}999 usando um bound bruto pelo máximo do numerador dividido pelo mínimo do denominador. Mas podemos ser mais precisos usando o menor numerador sobre o maior denominador (o caso que dá o maior quociente é numerador máximo / denominador mínimo), então:
\max_{x\in[2,2{,}5]}|g'(x)| \approx \frac{13}{12{,}978}\approx0{,}001000? \text{ (cuidado com ordem!) }
Vamos calcular corretamente: \dfrac{13}{12{,}978}\approx1{,}0017 (isto foi aproximação grosseira). Em vez disso, avalie numericamente g'(x) nos extremos para ver o comportamento:
  • Em x=2:
g'(2)=\frac{6\cdot2-2}{3\cdot9^{2/3}}=\frac{10}{3\cdot4{,}326}\approx\frac{10}{12{,}978}\approx0{,}7706.
  • Em x=2{,}5:
g'(2{,}5)=\frac{6\cdot2{,}5-2}{3\cdot14{,}75^{2/3}}=\frac{13}{3\cdot6{,}085}\approx\frac{13}{18{,}255}\approx0{,}7124.
A derivada é contínua no intervalo e, numericamente, atinge valor máximo aproximado \approx0{,}77 no ponto x=2. Portanto existe L\approx0{,}77<1 tal que |g'(x)|\le L em [2,2{,}5].
  1. Conclusão do ponto fixo:
    Como g é contínua, g([2,2{,}5])\subset[2,2{,}5] e |g'|\le L<1 no intervalo, o Teorema do Ponto Fixo garante:
  • Existe um único r\in[2,2{,}5] tal que g(r)=r.
  • As iterações x_{n+1}=g(x_n) convergem para r para qualquer x_0\in[2,2{,}5].
  • A convergência é linear com razão de convergência no máximo L\approx0{,}77. Ou seja, o erro satisfaz |e_{n+1}|\le L|e_n| (aproximação asymptótica).

Passo 7

(c) Comparação prática entre métodos e recomendações finais didáticas
  1. Newton–Raphson:
  • Ordem: quadrática (rápido).
  • Condição: precisa de f' e de um x_0 suficientemente próximo; aqui x_0=2{,}5 funciona bem.
  • Robustez: muito boa quando hipóteses satisfeitas; pode falhar se f' for zero ou pequeno em iterações.
  1. Ponto Fixo com g(x)=\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{1/3}:
  • Ordem: linear (mais lento), razão de convergência aproximadamente L\approx0{,}77.
  • Vantagem: garante convergência para qualquer x_0\in[2,2{,}5] e não precisa de derivada de f diretamente.
  • Conclusão: tanto faz; para velocidade, Newton é melhor; para simplicidade e garantia global dentro do intervalo escolhido, g é robusto.
  1. Em situação de prova:
  • Mostre que existe raiz entre 2 e 3 (IVT).
  • Justifique Newton com f'(r)\neq0 (avaliando f' no intervalo).
  • Se pedirem Ponto Fixo, proponha g e verifique |g'|<1 no intervalo e g([a,b])\subset[a,b].

Resposta

(a) Existe pelo menos uma raiz real r\in(2,3) porque f(2)=-1<0 e f(3)=5>0; pelo Teorema do Valor Intermediário existe r\in(2,3) com f(r)=0.
(b) Método escolhido: Newton–Raphson com
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Como f\in C^2 e f'(x)>0 em [2,3] (portanto f'(r)\neq0), as hipóteses do teorema local de Newton valem e a convergência local é quadrática ( p=2). Um ponto inicial adequado é x_0=2{,}5, que está em (2,3) e produz convergência rápida para a raiz r\approx2{,}3247.
(c) Proposta de Ponto Fixo:
g(x)=\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{1/3}.
No intervalo [2,2{,}5] tem-se g([2,2{,}5])\subset[2,2{,}5] e |g'(x)|\le L\approx0{,}77<1, logo g é uma contração em [2,2{,}5]. Pelo Teorema do Ponto Fixo existe um único ponto fixo em [2,2{,}5] (que coincide com a raiz de f) e as iterações x_{n+1}=g(x_n) convergem linearmente para essa raiz.

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