Questão 1. Considere a equação não linear
.
a) Mostre analiticamente que existe pelo menos uma raiz real para esta equação em um intervalo específico. Utilize o Teorema do Valor Intermediário e/ou o Teorema de Bolzano.
b) Escolha um método iterativo (e.g , Newton-Raphson, Secante ou Ponto Fixo). Analise as condições de convergência local do método escolhido para encontrar uma raiz, justificando a escolha de um ponto inicial adequado. Discuta a ordem de convergência.
c) Proponha uma reformulaçāo da equação para ser resolvida pelo método do Ponto Fixo
. Analise se a função
atende às condições do Teorema do Ponto Fixo em um intervalo de interesse e discuta a convergência.
a) Mostre analiticamente que existe pelo menos uma raiz real para esta equação em um intervalo específico. Utilize o Teorema do Valor Intermediário e/ou o Teorema de Bolzano.
b) Escolha um método iterativo (e.g , Newton-Raphson, Secante ou Ponto Fixo). Analise as condições de convergência local do método escolhido para encontrar uma raiz, justificando a escolha de um ponto inicial adequado. Discuta a ordem de convergência.
c) Proponha uma reformulaçāo da equação para ser resolvida pelo método do Ponto Fixo
Passo 1
O enunciado dá a equação não linear
e pede três coisas:
- (a) Mostrar analiticamente que existe pelo menos uma raiz real em algum intervalo específico, usando o Teorema do Valor Intermediário / Bolzano.
- (b) Escolher um método iterativo (por exemplo Newton-Raphson, Secante ou Ponto Fixo), analisar as condições de convergência local do método escolhido para encontrar uma raiz, justificar a escolha de um ponto inicial adequado e discutir a ordem de convergência.
- (c) Propor uma reformulação
para aplicar o método do Ponto Fixo, analisar se satisfaz as condições do Teorema do Ponto Fixo em um intervalo de interesse e discutir a convergência.
Informações úteis dadas pela equação (que vamos usar):
- A função é
. - Podemos calcular derivadas:
e . - A função é polinomial (continua e diferenciável em toda
), então os teoremas que exigem continuidade e derivabilidade se aplicam.
Passo 2
(a) Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) para garantir pelo menos uma raiz em um intervalo.
A ideia do Teorema do Valor Intermediário é: se
é contínua num intervalo
e
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
.
- Primeiro calculamos
em pontos inteiros fáceis de avaliar:
- Observamos que
e . Como é polinomial, é contínua em . - Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
tal que .
Comentário amigo: pronto! Isso já garante que há pelo menos uma raiz real entre
e
. (Cúmulo da alegria: é uma cúspide simples — uma mudança de sinal bastou.)
Passo 3
(b) Escolha do método: Newton–Raphson. Vou explicar o método, a condição de convergência local e justificar um ponto inicial.
- Fórmula do método de Newton–Raphson:
Explicando: em cada iteração usamos a reta tangente a
em
e tomamos sua interseção com o eixo
como aproximação
. É uma receita muito usada porque converge rápido quando as condições ideais são satisfeitas.
- Condições teóricas de convergência local (intuição e enunciado do teorema local):
Seé numa vizinhança de uma raiz simples (ou seja, e ), então existe uma vizinhança de tal que, para qualquer , a sequência definida por Newton converge para . Além disso a convergência é de ordem 2 (quadrática): o erro satisfaz aproximadamente
com
e
. Isso significa que, uma vez perto da raiz, os dígitos corretos dobram a cada iteração (na prática: converge muito rápido).
- Verificação das hipóteses para nossa função:
-
é polinomial, logo em . - Do Passo 2 sabemos que existe uma raiz
. Para aplicar Newton precisamos de . Vamos verificar no intervalo :
Calculemos nas extremidades:
Como
é contínua,
para todo
. Em particular, para a raiz
temos
. Portanto a raiz é simples e as hipóteses do teorema local de Newton são satisfeitas.
- Escolha do ponto inicial
:
Uma boa prática é escolherdentro do intervalo onde sabemos que a raiz existe; aqui escolho (centro de ). Razões práticas:
-
, onde não se anula (evita divisão por zero). - Um palpite no meio do intervalo costuma ser suficientemente próximo para o teorema local garantir convergência.
- Demonstração numérica de algumas iterações (para ver que realmente converge e quão rápido):
Calculemose :
Aplicando Newton:
Calcule
(apenas para ver a queda do erro):
o valor de fica aproximadamente
. Em seguida,
o valor de
Já vemos que o erro diminuiu muito em duas iterações; Newton mostra sua convergência quadrática aqui.
- Ordem de convergência:
Como explicado, quandoe perto de , Newton tem ordem de convergência (quadrática). Isso significa que, quando estamos suficientemente perto da raiz, os erros obedecem à relação
Comentário prático e encorajador: Newton é rápido, mas para ser robusto precisa de um
razoavelmente próximo; aqui
funciona bem.
Passo 4
(b) — Observações adicionais (prevenir armadilhas e comparar com outros métodos)
- Secante: tem ordem
(superior à de métodos lineares, mas inferior à quadrática do Newton). Requer duas estimativas iniciais; pode ser útil se for difícil de calcular. No nosso caso, é simples, então Newton é mais atraente. - Ponto Fixo: pode convergir lentamente (geralmente linear) a menos que se construa um
com constante de contração pequena; por isso Newton é preferível se quer velocidade. - Risco de Newton: se
estiver próximo de zero em alguma iteração ou se for muito longe da raiz, o método pode divergir; por isso escolhemos no intervalo onde é bounded away from zero (aqui em e cresce depois).
Passo 5
(c) Propondo uma reformulação para Ponto Fixo e analisando convergência.
Queremos escrever
tal que as soluções fixas de
coincidam com as raízes de
. A equação original é
Uma forma natural é isolar
como raiz cúbica:
Definimos, portanto,
(Em palavras: eu movi os termos de modo que o membro direito fica um polinômio e tomei a raiz cúbica.)
Passo 6
(c) Verificando as condições do Teorema do Ponto Fixo (contracção) para
em um intervalo adequado.
O Teorema do Ponto Fixo (Banach) diz: se
é contínua em
,
e existe
tal que
para todo
, então
tem um único ponto fixo em
e as iterações
convergem para esse fixo para qualquer
. Além disso a convergência é linear com razão
.
- Calculamos
(usando derivação de potências e cadeia):
Explicando cada peça: o numerador
vem da derivada do polinômio interno
; o fator
vem da derivada de
; o denominador mostra que derivada fica menor quando o termo interno é grande (bom para contracção).
-
Escolha de um intervalo onde testar a contração:
Já sabemos que a raizestá em . Tomemos o intervalo compacto . Esse intervalo contém um aproximado da raiz (pois ) e é pequeno o suficiente para controlar . -
Mostrar que
(mapeamento em si mesmo):
- Calculemos
. - Calculemos
.
Portanto. Logo mapeia o intervalo em si mesmo.
- Estimar
em :
Vamos obter um limite superior numérico simples. Para:
- O numerador
varia entre e , então . - O termo interno
varia entre e . Então . - Assim
varia entre e . Calculando numericamente:
- Portanto, o denominador
está entre e . - Assim
usando um bound bruto pelo máximo do numerador dividido pelo mínimo do denominador. Mas podemos ser mais precisos usando o menor numerador sobre o maior denominador (o caso que dá o maior quociente é numerador máximo / denominador mínimo), então:
Vamos calcular corretamente:
(isto foi aproximação grosseira). Em vez disso, avalie numericamente
nos extremos para ver o comportamento:
- Em
:
- Em
:
A derivada é contínua no intervalo e, numericamente, atinge valor máximo aproximado
no ponto
. Portanto existe
tal que
em
.
- Conclusão do ponto fixo:
Comoé contínua, e no intervalo, o Teorema do Ponto Fixo garante:
- Existe um único
tal que . - As iterações
convergem para para qualquer . - A convergência é linear com razão de convergência no máximo
. Ou seja, o erro satisfaz (aproximação asymptótica).
Passo 7
(c) Comparação prática entre métodos e recomendações finais didáticas
- Newton–Raphson:
- Ordem: quadrática (rápido).
- Condição: precisa de
e de um suficientemente próximo; aqui funciona bem. - Robustez: muito boa quando hipóteses satisfeitas; pode falhar se
for zero ou pequeno em iterações.
- Ponto Fixo com
:
- Ordem: linear (mais lento), razão de convergência aproximadamente
. - Vantagem: garante convergência para qualquer
e não precisa de derivada de diretamente. - Conclusão: tanto faz; para velocidade, Newton é melhor; para simplicidade e garantia global dentro do intervalo escolhido,
é robusto.
- Em situação de prova:
- Mostre que existe raiz entre
e (IVT). - Justifique Newton com
(avaliando no intervalo). - Se pedirem Ponto Fixo, proponha
e verifique no intervalo e .
Resposta
(a) Existe pelo menos uma raiz real
porque
e
; pelo Teorema do Valor Intermediário existe
com
.
(b) Método escolhido: Newton–Raphson com
Como
e
em
(portanto
), as hipóteses do teorema local de Newton valem e a convergência local é quadrática (
). Um ponto inicial adequado é
, que está em
e produz convergência rápida para a raiz
.
(c) Proposta de Ponto Fixo:
No intervalo
tem-se
e
, logo
é uma contração em
. Pelo Teorema do Ponto Fixo existe um único ponto fixo em
(que coincide com a raiz de
) e as iterações
convergem linearmente para essa raiz.