Utilize o método da secante modificada para resolver a equação f(x)=x^{2}-2 com uma aproximação inicial x_{0}=1.5. Calcule até que o erro relativo seja menor que 0,01 \%.

Passo 1

Temos a equação \,f(x)=x^2-2=0 e queremos sua raiz positiva (que é \sqrt2) usando o método da secante modificada, que não exige derivada explícita. A ideia é aproximar
f'(x_n)\approx\frac{f(x_n+\Delta x_n)-f(x_n)}{\Delta x_n}
e usar o passo tipo Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
para obter a fórmula da secante modificada
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)\,\Delta x_n}{f(x_n+\Delta x_n)-f(x_n)},
escolhendo \Delta x_n=\delta\,x_n com \delta=0{,}01. Partimos de x_0=1{,}5 e iteramos até que o erro relativo
\left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right|<0{,}01\%=10^{-4}.

Passo 2

Iteração n=0\to1:
x_0=1{,}5,\quad \Delta x_0=0{,}01\cdot1{,}5=0{,}015,
f(x_0)=1{,}5^2-2=0{,}25,\quad f(x_0+\Delta x_0)=f(1{,}515)=1{,}515^2-2=0{,}295225,
x_1 = 1{,}5 - \frac{0{,}25\cdot0{,}015}{0{,}295225-0{,}25} \approx1{,}417117,
erro relativo \approx5{,}85\% (ainda acima de 0{,}01\%).

Passo 3

Iteração n=1\to2:
x_1\approx1{,}417117,\quad \Delta x_1=0{,}01\cdot1{,}417117=0{,}01417117,
f(x_1)=1{,}417117^2-2\approx0{,}007993,\quad f(x_1+\Delta x_1)=f(1{,}431288)\approx0{,}048582,
x_2 = 1{,}417117 - \frac{0{,}007993\cdot0{,}01417117}{0{,}048582-0{,}007993} \approx1{,}414326,
erro relativo \approx0{,}1974\% (ainda acima de 0{,}01\%).

Passo 4

Iteração n=2\to3:
x_2\approx1{,}414326,\quad \Delta x_2=0{,}01\cdot1{,}414326=0{,}01414326,
f(x_2)=1{,}414326^2-2\approx0{,}000318,\quad f(x_2+\Delta x_2)=f(1{,}428469)\approx0{,}041739,
x_3 = 1{,}414326 - \frac{0{,}000318\cdot0{,}01414326}{0{,}041739-0{,}000318} \approx1{,}414217,
erro relativo \displaystyle\left|\frac{x_3-x_2}{x_3}\right|\approx7{,}68\times10^{-5}=0{,}00768\%<0{,}01\%.

Resposta

A raiz aproximada obtida é
x\approx1{,}414217,
com erro relativo final \approx0{,}00768\%<0{,}01\%.

Exercícios relacionados