A função f(x)=\ln (x)-\sin (x) possui uma raiz entre x=2 e x=3. Use o método da bisseção para localizá-la com precisaño de 10^{-5}. Mostre os valores de a, b, x_{r} \in f\left(x_{r}\right) em cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de \displaystyle f(x)=\ln(x)-\sin(x)
no intervalo inicial [a,b]=[2,3] usando o método da bisseção, com tolerância \displaystyle \varepsilon=10^{-5}.
Conteúdo: método numérico de busca de raiz baseado em divisão sucessiva de intervalos onde a função muda de sinal.

Passo 2

O método da bisseção procede assim:
  1. Verificar que \displaystyle f(a)\cdot f(b)<0, garantindo troca de sinal.
  2. Calcular o ponto médio \displaystyle x_r=(a+b)/2 e avaliar \displaystyle f(x_r).
  3. Se \displaystyle f(a)\cdot f(x_r)<0, substitui-se b\leftarrow x_r; caso contrário, a\leftarrow x_r.
  4. Repetir até que o erro aproximado \displaystyle (b-a)/2\le\varepsilon.
Inicialmente temos \displaystyle f(2)=\ln(2)-\sin(2)\approx-0,21615 e \displaystyle f(3)=\ln(3)-\sin(3)\approx0,84887,
logo há raiz em [2,3].

Passo 3

Montamos a tabela das 17 primeiras iterações até (b-a)/2<10^{-5}:
Iter a b x_r f(x_r)
1 2.000000 3.000000 2.500000 0.317819
2 2.000000 2.500000 2.250000 0.032857
3 2.000000 2.250000 2.125000 -0.095101
4 2.125000 2.250000 2.187500 -0.034077
5 2.187500 2.250000 2.218750 -0.000748
6 2.218750 2.250000 2.234375 0.015994
7 2.218750 2.234375 2.226562 0.007608
8 2.218750 2.226562 2.222656 0.003431
9 2.218750 2.222656 2.220703 0.001344
10 2.218750 2.220703 2.219727 0.000296
11 2.218750 2.219727 2.219238 -0.000226
12 2.219238 2.219727 2.219482 0.000273
13 2.219238 2.219482 2.219360 -0.000098
14 2.219360 2.219482 2.219421 -0.000034
15 2.219421 2.219482 2.219452 -0.000002
16 2.219452 2.219482 2.219467 0.000014
17 2.219452 2.219467 2.219460 0.000006
Em cada linha fizemos x_r=(a+b)/2 e escolhemos o subintervalo onde f muda de sinal.

Passo 4

Na iteração 17 temos \displaystyle (b-a)/2\approx7{,}6\times10^{-6}<10^{-5},
então paramos e tomamos como raiz aproximada \displaystyle x_r\approx2{,}219460, com f(x_r)\approx6\times10^{-6}.

Resposta

A raiz de \ln(x)-\sin(x)=0 em [2,3] é aproximadamente
x\approx2{,}21946
com precisão de 10^{-5}.

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