A equação f(x)=e^{-x}-x tem uma raiz próxima de x=0.5. Utilize o método da secante com aproximaçōes iniciais x_{0}=0 e x_{1}=1 para encontrar a raiz. Faça no máximo 5 iteraçōes.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de f(x)=e^{-x}-x usando o método da secante com x_{0}=0 e x_{1}=1, realizando até 5 iterações. Vamos usar a fórmula da secante:
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\;\frac{f(x_{n})\bigl(x_{n}-x_{n-1}\bigr)}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.

Passo 2

Calculamos inicialmente
f(x_{0})=f(0)=e^{0}-0=1, \quad f(x_{1})=f(1)=e^{-1}-1\approx 0,3679-1=-0,6321.
Aplicando a secante para obter x_{2}:
x_{2} =1-\frac{(-0,6321)(1-0)}{-0,6321-1} =1-\frac{-0,6321}{-1,6321} \approx 0,6127.

Passo 3

Agora
f(x_{2})=f(0,6127)=e^{-0,6127}-0,6127\approx 0,5417-0,6127=-0,0710.
Usando x_{1}=1 e x_{2}=0,6127 na fórmula da secante:
x_{3} =0,6127-\frac{(-0,0710)(0,6127-1)}{-0,0710-(-0,6321)} \approx 0,5637.

Passo 4

Em seguida,
f(x_{3})=f(0,5637)=e^{-0,5637}-0,5637\approx 0,5687-0,5637=0,0050.
Aplicando a secante entre x_{2}=0,6127 e x_{3}=0,5637:
x_{4} =0,5637-\frac{0,0050\,(0,5637-0,6127)}{0,0050-(-0,0710)} \approx 0,5669.

Passo 5

Por fim,
f(x_{4})=f(0,5669)=e^{-0,5669}-0,5669\approx 0,5675-0,5669=0,0006.
Secante entre x_{3}=0,5637 e x_{4}=0,5669:
x_{5} =0,5669-\frac{0,0006\,(0,5669-0,5637)}{0,0006-0,0050} \approx 0,5674.

Resposta

Aproximação da raiz após 5 iterações: x\approx 0,5674.

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