Utilize o método da secante com x_{0}=2 e x_{1}=2.5 para resolver f(x)=x \ln (x)-1. Faça até seis iterações ou até atingir erro inferior a 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
f(x)=x\ln(x)-1=0
usando o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=2 e x_{1}=2,5, até no máximo seis iterações ou até que o erro entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^{-3}.
Conteúdo: métodos iterativos para raízes, especificamente a secante. Vamos precisar calcular f(x) e aplicar a fórmula
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})\bigl(x_{n}-x_{n-1}\bigr)}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.

Passo 2

1ª iteração (gerando x_{2}):
Calculamos
f(x_{0})=f(2)=2\ln(2)-1\approx2\cdot0,693147-1=0,386294,
f(x_{1})=f(2,5)=2,5\ln(2,5)-1\approx2,5\cdot0,916291-1=1,290728.
Aplicando a fórmula da secante:
x_{2} = 2,5 - \frac{1,290728\,(2,5-2)}{1,290728-0,386294} \approx2,5-\frac{1,290728\cdot0,5}{0,904434} \approx1,78627.

Passo 3

2ª iteração (gerando x_{3}):
Primeiro f(x_{2}):
f(1,78627) =1,78627\ln(1,78627)-1 \approx1,78627\cdot0,58024-1 =0,03556.
Agora
x_{3} = 1,78627 - \frac{0,03556\,(1,78627-2,5)}{0,03556-1,290728} \approx1,78627 - \frac{0,03556\cdot(-0,71373)}{-1,25517} \approx1,76605.

Passo 4

3ª iteração (gerando x_{4}):
Calculamos f(x_{3}):
f(1,76605) =1,76605\ln(1,76605)-1 \approx1,76605\cdot0,56836-1 =0,00356.
Então
x_{4} = 1,76605 - \frac{0,00356\,(1,76605-1,78627)}{0,00356-0,03556} \approx1,76605 - \frac{0,00356\cdot(-0,02022)}{-0,03200} \approx1,76220.

Passo 5

4ª iteração (gerando x_{5}) e cálculo do erro:
Primeiro f(x_{4}):
f(1,76220) =1,76220\ln(1,76220)-1 \approx1,76220\cdot0,56722-1 =-0,00090.
Agora
x_{5} = 1,76220 - \frac{-0,00090\,(1,76220-1,76605)}{-0,00090-0,00356} \approx1,76220 - \frac{-0,00090\cdot(-0,00385)}{-0,00446} \approx1,76273.
O erro entre as últimas iterações é
|x_{5}-x_{4}|\approx|1,76273-1,76220|=0,00053.

Passo 6

Como o erro 0,00053 é menor que 10^{-3}, atendemos ao critério de parada antes de completar seis iterações.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1,7627.

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