Use o método da falsa posição para resolver f(x)=x^{3}+4 x^{2}- 10 no intervalo [1,2]. Compare os resultados com os obtidos
pelo método da bisseção.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=x^{3}+4x^{2}-10
no intervalo [1,2] usando o método da false position (posição falsa) e comparar com o método da bisseção. Vamos explorar o princípio de que, se f(a) e f(b) têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz em [a,b].

Passo 2

Calculemos os valores de fronteira:
f(1)=1+4-10=-5, \quad f(2)=8+16-10=14.
Como f(1)\,f(2)<0, existe raiz em [1,2].

Passo 3

No método da posição falsa, dada a raiz em [a,b], a aproximação é
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Iteração 1: a_{0}=1, b_{0}=2.
x_{1} =\frac{1\cdot14-2\cdot(-5)}{14-(-5)} =\frac{24}{19}\approx1,2632.
Então
f(x_{1})\approx(1,2632)^{3}+4(1,2632)^{2}-10\approx-1,604.
Como f(x_{1})<0, renovamos o intervalo para [a_{1},b_{1}]=[1,2632,\,2].

Passo 4

Iteração 2: a_{1}=1,2632, b_{1}=2.
x_{2} =\frac{1,2632\cdot14-2\cdot(-1,604)}{14-(-1,604)} \approx1,3392,
f(x_{2})\approx-0,421.
Atualizamos para [a_{2},b_{2}]=[1,3392,\,2].

Passo 5

Continuando:
Iteração 3: [a_{2},b_{2}]=[1,3392,2]
x_{3}\approx1,3583,\quad f(x_{3})\approx-0,121.
Iteração 4: [a_{3},b_{3}]=[1,3583,2]
x_{4}\approx1,3639,\quad f(x_{4})\approx-0,0169.
Iteração 5: [a_{4},b_{4}]=[1,3639,2]
x_{5}\approx1,3652,\quad f(x_{5})\approx+0,014.
Após 5 iterações, a raiz aproximada é x\approx1,3652.

Passo 6

Agora, o método da bisseção no mesmo número de iterações:
  1. [1,2]\to x_{1}=(1+2)/2=1,5, f(1,5)\approx2,375 \;\Rightarrow[1,1,5].
  2. [1,1,5]\to x_{2}=1,25, f(1,25)\approx-1,797 \;\Rightarrow[ 1,25,1,5].
  3. [1,25,1,5]\to x_{3}=1,375, f(1,375)\approx0,161 \;\Rightarrow[ 1,25,1,375].
  4. [1,25,1,375]\to x_{4}=1,3125, f(1,3125)\approx-0,848 \;\Rightarrow[ 1,3125,1,375].
  5. [1,3125,1,375]\to x_{5}=1,34375, f(1,34375)\approx-0,345 \;\Rightarrow[ 1,34375,1,375].
Após 5 iterações, a aproximação da bisseção é x\approx1,34375.

Passo 7

Comparando as duas sequências após 5 iterações:
  • Posição falsa: x\approx1,3652 com |f(x)|\approx1{,}4\times10^{-2} e erro em torno de 3\times10^{-4} em relação à raiz exata \approx1,36523.
  • Bisseção: x\approx1,34375 com erro em torno de 2{,}15\times10^{-2}.
Conclui-se que, neste caso, o método da posição falsa atinge maior precisão mais rapidamente que a bisseção.

Resposta

Usando posição falsa, após 5 iterações obtém-se
x\approx1,3652.
Pela bisseção, após 5 iterações obtém-se
x\approx1,34375.
Logo, a posição falsa convergiu mais rápido que a bisseção.

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