A equação f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)-x tem uma raiz próxima de x=0.6. Use o método da secante modificada para encontrar essa raiz com precisão de 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-x
usando o método da secante modificada com precisão 10^{-5}. Esse método é iterativo, não exige derivadas analíticas e emprega duas estimativas iniciais para gerar aproximações sucessivas à raiz.

Passo 2

Escolhemos as estimativas iniciais
x_{0}=0{,}5,\quad x_{1}=0{,}6
por estarem próximas de onde o gráfico de f cruza o eixo x. A fórmula de iteração é
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\; f(x_{n})\;\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}\,.
O critério de parada adotado é
\bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr| < 10^{-5}\,.

Passo 3

Calculamos os valores de f nas estimativas iniciais:
f(x_{0}) = \ln\bigl(0{,}5^{2}+1\bigr)-0{,}5 = \ln(1{,}25)-0{,}5 \approx -0{,}276857,
f(x_{1}) = \ln\bigl(0{,}6^{2}+1\bigr)-0{,}6 = \ln(1{,}36)-0{,}6 \approx -0{,}292516.

Passo 4

Aplicando a fórmula até satisfazer \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-5}, obtemos as seguintes aproximações:
x_{2} = 0{,}6 - \frac{-0{,}292516\,(0{,}6-0{,}5)}{-0{,}292516-(-0{,}276857)} \approx -1{,}2670,
x_{3} = -1{,}2670 - \frac{2{,}2254\,(-1{,}2670-0{,}6)}{2{,}2254-(-0{,}292516)} \approx 0{,}3845,
x_{4} \approx 0{,}2195,\quad x_{5} \approx -0{,}1641,\quad x_{6} \approx 0{,}0375,
x_{7} \approx 0{,}0054,\quad x_{8} \approx -0{,}00022,\quad x_{9} \approx 0{,}0000011,\quad x_{10} \approx 0.
Neste ponto verifica-se que
\bigl|x_{10}-x_{9}\bigr| \approx 1{,}1\times10^{-6} < 10^{-5},
logo a convergência foi atingida.

Resposta

A raiz aproximada, com precisão de 10^{-5}, é x \approx 0.

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