Utilize o método de variação de parâmetros para resolver:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Observações e informações fornecidas pelo enunciado:
- O termo do lado direito é
, portanto a função está definida apenas para (pois exige ). - Não foram dadas condições iniciais; então vamos procurar a solução geral com duas constantes arbitrárias.
- A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. (A resolução começa no próximo passo.)
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
Formamos o polinômio característico substituindo
:
Calculamos as raízes:
Para uma raiz dupla
as duas soluções fundamentais da homogênea são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais (precisa-se dele para variação de parâmetros).
Derivadas:
Derivadas:
O Wronskiano é
Fatorando
:
Portanto
, que nunca é zero (em particular para
) — bom, podemos aplicar variação de parâmetros.
Passo 4
Apresentar as fórmulas de variação de parâmetros (sem constantes de integração nas integrais particulares, pois essas constantes são absorvidas em
).
Para a equação na forma padrão , com soluções fundamentais
, a variação de parâmetros dá
Para a equação na forma padrão
e a solução particular é
No nosso caso
e já calculámos
. Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calcular
e
substituindo os valores:
Portanto temos duas integrais relativamente simples:
e
.
Passo 6
Integrar
.
Usamos integração por partes para . Tomando
e
dá
e
. Assim
Usamos integração por partes para
Como as constantes são absorvidas em
, podemos tomar a primitiva sem constante:
Passo 7
Integrar
.
Primeiro calculamos por partes. Tome
,
. Então
,
. Assim
Primeiro calculamos
Multiplicando por
(pois
) e descartando a constante:
Passo 8
Construir a solução particular
.
Substituindo:
Substituindo:
Simplificar termo a termo: o segundo produto é
Somando com o primeiro:
Agrupando os termos com
:
Agrupando os termos sem
:
Logo
Passo 9
Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular.
Fatorando
(opcional):
válido para
.