Utilize o método de variação de parâmetros para resolver:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\ln (x) e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = \ln(x)\,e^{2x},
e pede a solução geral y(x). Observações e informações fornecidas pelo enunciado:
  • O termo do lado direito é \ln(x)\,e^{2x}, portanto a função está definida apenas para x>0 (pois \ln(x) exige x>0).
  • Não foram dadas condições iniciais; então vamos procurar a solução geral com duas constantes arbitrárias.
  • A equação é linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. (A resolução começa no próximo passo.)

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
y_h'' - 4y_h' + 4y_h = 0.
Formamos o polinômio característico substituindo y_h = e^{rx}:
r^2 - 4r + 4 = 0.
Calculamos as raízes:
r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2 = 0 \implies r = 2 \text{ (raiz dupla).}
Para uma raiz dupla r=2 as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x) = e^{2x},\qquad y_2(x) = x e^{2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}.

Passo 3

Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais (precisa-se dele para variação de parâmetros).
Derivadas:
y_1'(x)=2e^{2x},\qquad y_2'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=e^{2x}(1+2x).
O Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1' = e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x) - x e^{2x}\cdot 2e^{2x}.
Fatorando e^{4x}:
W(x)=e^{4x}\big(1+2x-2x\big)=e^{4x}.
Portanto W(x)=e^{4x}, que nunca é zero (em particular para x>0) — bom, podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 4

Apresentar as fórmulas de variação de parâmetros (sem constantes de integração nas integrais particulares, pois essas constantes são absorvidas em y_h).
Para a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x), com soluções fundamentais y_1,y_2, a variação de parâmetros dá
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},
e a solução particular é
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
No nosso caso g(x)=\ln(x)\,e^{2x} e já calculámos y_1,y_2,W. Vamos calcular u_1' e u_2'.

Passo 5

Calcular u_1'(x) e u_2'(x) substituindo os valores:
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)} = -\frac{x e^{2x}\cdot \ln(x)\,e^{2x}}{e^{4x}} = - x\ln(x).
u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)} = \frac{e^{2x}\cdot \ln(x)\,e^{2x}}{e^{4x}} = \ln(x).
Portanto temos duas integrais relativamente simples: u_2'=\ln(x) e u_1'=-x\ln(x).

Passo 6

Integrar u_2'(x)=\ln(x).
Usamos integração por partes para \int \ln(x)\,dx. Tomando a=\ln(x) e db=dx da=\frac{1}{x}dx e b=x. Assim
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C.
Como as constantes são absorvidas em y_h, podemos tomar a primitiva sem constante:
u_2(x)=x\ln(x)-x.

Passo 7

Integrar u_1'(x) = -x\ln(x).
Primeiro calculamos \int x\ln(x)\,dx por partes. Tome a=\ln(x), db=x\,dx. Então da=\frac{1}{x}dx, b=\frac{x^2}{2}. Assim
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.
Multiplicando por -1 (pois u_1'=-x\ln(x)) e descartando a constante:
u_1(x) = -\frac{x^2}{2}\ln(x) + \frac{x^2}{4}.

Passo 8

Construir a solução particular y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituindo:
y_p = \Big(-\frac{x^2}{2}\ln(x)+\frac{x^2}{4}\Big)e^{2x} + \big(x\ln(x)-x\big)\cdot x e^{2x}.
Simplificar termo a termo: o segundo produto é
\big(x\ln(x)-x\big)\cdot x e^{2x} = \big(x^2\ln(x)-x^2\big)e^{2x}.
Somando com o primeiro:
y_p = e^{2x}\Big(-\frac{x^2}{2}\ln(x)+\frac{x^2}{4} + x^2\ln(x)-x^2\Big).
Agrupando os termos com \ln(x):
-\frac{x^2}{2}\ln(x)+x^2\ln(x)=\frac{x^2}{2}\ln(x).
Agrupando os termos sem \ln(x):
\frac{x^2}{4}-x^2 = -\frac{3x^2}{4}.
Logo
y_p(x) = e^{2x}\left(\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{3x^2}{4}\right) = e^{2x}x^2\left(\frac{1}{2}\ln(x) - \frac{3}{4}\right).

Passo 9

Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular.
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} + e^{2x}x^2\left(\frac{1}{2}\ln(x) - \frac{3}{4}\right).
Fatorando e^{2x} (opcional):
y(x)=e^{2x}\Big(C_1 + C_2 x + x^2\big(\tfrac{1}{2}\ln(x)-\tfrac{3}{4}\big)\Big),
válido para x>0.

Resposta

y(x)=e^{2x}\Big(C_1 + C_2 x + x^2\Big(\tfrac{1}{2}\ln(x)-\tfrac{3}{4}\Big)\Big)

Exercícios relacionados