Utilize a mudança de variáveis
, para concluir que a equação
é equivalente a
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas parciais em relação a
e
. O objetivo é usar uma mudança de variável onde
e
para transformar essa equação na equação de Laplace, que é mais simples. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação em mudanças de variável, conhecidas como regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais de
em relação a
e
em termos de
e
. Sabemos que
e
, então podemos escrever
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia:
Como
, temos
. E
, que não depende de
, então
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Novamente, usando a regra da cadeia para
:
Então:
Passo 5
De maneira semelhante, vamos calcular as derivadas em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir todas essas derivadas na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Observamos que
e
. Portanto, a equação fica:
Resposta
A equação original, após a mudança de variável
e
, se transforma em: