Utilize a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=integral5^x(t-t^2)^8 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ g(x) = \int_{5}^{x} (t - t{2}){8} , dt $ usando a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Isso está dentro do conteúdo de derivadas e integrais, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo para ligar integração e diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que diz a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, ela nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo $ x $, ou seja, $ G(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então a derivada de $ G(x) $ em relação a $ x $ é simplesmente $ f(x) $. Em fórmulas, isso fica assim:
x

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos que nossa função $ g(x) $ está no mesmo formato:
g(x)
Aqui, $ f(t) = (t - t{2}){8} $.

Passo 4

Segundo a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $ será simplesmente a função que está dentro da integral, avaliada em $ x $. Então temos:
g(x)

Resposta

A derivada da função é $ g’(x) = (x - x{2}){8} $.

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