Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
b. f(0) se f(-0,5)=1,93750, f(-0,25)=1,332303, f(0,25)=0,800781, f(0,5)=0,687500

Passo 1

O enunciado nos dá os valores
f(-0,5)=1,93750,\quad f(-0,25)=1,332303,\quad f(0,25)=0,800781,\quad f(0,5)=0,687500
e pede aproximações de f(0) usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2 e 3. Vamos usar o polinômio de grau n passando por n+1 pontos mais próximos de x=0 e então avaliar esse polinômio em x=0.

Passo 2

Para o polinômio de grau 1 escolhemos os dois pontos mais próximos de zero, (-0,25,\,1,332303) e (0,25,\,0,800781). O interpolador linear P_{1}(x) é
P_{1}(x)=y_{0}\,\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}+y_{1}\,\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}},
com (x_{0},y_{0})=(-0,25,1,332303) e (x_{1},y_{1})=(0,25,0,800781).

Passo 3

Avaliaremos P_{1}(0). Primeiro calculamos a inclinação
m=\frac{0,800781-1,332303}{0,25-(-0,25)}=\frac{-0,531522}{0,5}=-1,063044
e o coeficiente linear (intercepto)
b=y_{0}-m\,x_{0} =1,332303-(-1,063044)\cdot(-0,25) =1,066542.
Logo,
P_{1}(0)=b=1,066542.

Passo 4

Para o polinômio de grau 2 usamos três pontos que cercam x=0:
(x_{0},y_{0})=(-0,5,\,1,93750),\; (x_{1},y_{1})=(-0,25,\,1,332303),\; (x_{2},y_{2})=(0,25,\,0,800781).
O interpolador quadrático de Lagrange é
P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}y_{i}\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.

Passo 5

Avaliamo-lo em x=0:
\begin{aligned} P_{2}(0)&=1,93750\cdot\frac{(0+0,25)(0-0,25)}{(-0,5+0,25)(-0,5-0,25)}\\\ &\quad+1,332303\cdot\frac{(0+0,5)(0-0,25)}{(-0,25+0,5)(-0,25-0,25)}\\\ &\quad+0,800781\cdot\frac{(0+0,5)(0+0,25)}{(0,25+0,5)(0,25-(-0,25))}\\\ &=-0,645833+1,332303+0,266927\\\ &=0,953397\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 6

Para o polinômio de grau 3 usamos todos os quatro pontos:
(x_{0},y_{0})=(-0,5,\,1,93750),\; (x_{1},y_{1})=(-0,25,\,1,332303),\; (x_{2},y_{2})=(0,25,\,0,800781),\; (x_{3},y_{3})=(0,5,\,0,687500).
O interpolador cúbico é
P_{3}(x)=\sum_{i=0}^{3}y_{i}\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.

Passo 7

Em x=0 obtemos
\begin{aligned} P_{3}(0)&=1,93750\,L_{0}(0)+1,332303\,L_{1}(0) +0,800781\,L_{2}(0)+0,687500\,L_{3}(0), \end{aligned}
onde os coeficientes L_{i}(0) foram calculados como
L_{0}(0)=-0,166667,\; L_{1}(0)=0,666667,\; L_{2}(0)=0,666667,\; L_{3}(0)=-0,166667.
Logo
P_{3}(0) =-0,322917+0,888202+0,533854-0,114583 =0,984556\\ (\text{aprox.}).

Resposta

P_{1}(0)\approx1,066542,\quad P_{2}(0)\approx0,953397,\quad P_{3}(0)\approx0,984556.

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