Utilize polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três adequados para aproximar cada um dos seguintes:
a. f(0,43) se f(0)=1, f(0,25)=1,64872, f(0,5)=2,71828, f(0,75)=4,48169

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de f(0,43) usando polinômios interpoladores de Lagrange de graus um, dois e três, dados os pontos
(x_0,f_0)=(0,1),\;(x_1,f_1)=(0,25,1,64872),\;(x_2,f_2)=(0,5,2,71828),\;(x_3,f_3)=(0,75,4,48169).
O conteúdo principal é o método de interpolação de Lagrange. Para cada grau n escolhemos n+1 pontos adequados (mais próximos de 0,43) e construímos
P_n(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i)\,\ell_i(x),
onde
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^n\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.
Em seguida, calculamos P_n(0,43).

Passo 2

Interpolador de grau 1: usamos os pontos (0,25,1,64872) e (0,5,2,71828).
\ell_0(x)=\frac{x - 0,5}{0,25 - 0,5},\quad \ell_1(x)=\frac{x - 0,25}{0,5 - 0,25}.
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P_1(x)=1,64872\,\ell_0(x)+2,71828\,\ell_1(x).
Avaliando em x=0,43:
\ell_0(0,43)=\frac{0,43-0,5}{0,25-0,5}=\frac{-0,07}{-0,25}=0,28, \quad \ell_1(0,43)=\frac{0,43-0,25}{0,25}=0,72,
P_1(0,43)=1,64872\cdot0,28 + 2,71828\cdot0,72 \approx 0,46164 + 1,95716 = 2,41880.

Passo 3

Interpolador de grau 2: usamos os pontos (0,25,1,64872), (0,5,2,71828), (0,75,4,48169).
\ell_0(x)=\frac{(x-0,5)(x-0,75)}{(0,25-0,5)(0,25-0,75)},\quad \ell_1(x)=\frac{(x-0,25)(x-0,75)}{(0,5-0,25)(0,5-0,75)},
\ell_2(x)=\frac{(x-0,25)(x-0,5)}{(0,75-0,25)(0,75-0,5)}.
Avaliando em x=0,43:
\ell_0(0,43)=0,1792,\quad \ell_1(0,43)=0,9216,\quad \ell_2(0,43)=-0,1008.
Assim
P_2(0,43)=1,64872\cdot0,1792 + 2,71828\cdot0,9216 + 4,48169\cdot(-0,1008) \approx 0,29545 + 2,50513 - 0,45175 = 2,34883.

Passo 4

Interpolador de grau 3: usamos todos os quatro pontos. Para cada i=0,1,2,3,
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^3\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.
Avaliando em x=0,43 obtemos
\ell_0(0,43)\approx -0,04305,\quad \ell_1(0,43)\approx 0,30822,\quad \ell_2(0,43)\approx 0,79258,\quad \ell_3(0,43)\approx -0,05779.
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P_3(0,43)=1\cdot(-0,04305) + 1,64872\cdot0,30822 + 2,71828\cdot0,79258 + 4,48169\cdot(-0,05779) \approx -0,04305 + 0,50818 + 2,15545 - 0,25900 = 2,36158.

Resposta

Pelo interpolador de grau 1: P_1(0,43)\approx 2,41880.
Pelo interpolador de grau 2: P_2(0,43)\approx 2,34883.
Pelo interpolador de grau 3: P_3(0,43)\approx 2,36158.

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