Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução finita, que
O conteúdo é a prova por indução sobre a desigualdade entre uma função polinomial e uma função exponencial.
Passo 2
Base da indução (
):
logo
ou seja, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que a desigualdade valha para algum
, isto é,
Precisamos mostrar que então vale também para
, ou seja,
Passo 4
Começamos por expandir o quadrado e usar a hipótese indutiva:
Para concluir que isso é
, basta mostrar
Mas para
temos
e
, logo
Portanto a desigualdade
é verdadeira para todo
, e assim
Passo 5
Concluímos que, se a desigualdade vale para
, então vale para
. Como já verificamos o caso
, pelo princípio da indução finita a propriedade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Para todo
com
, vale
.