Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
n^{2} \leq 2^{n}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução finita, que
n^2 \le 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N},\;n\ge5.
O conteúdo é a prova por indução sobre a desigualdade entre uma função polinomial e uma função exponencial.

Passo 2

Base da indução ( n=5):
5^2 = 25 \quad\text{e}\quad 2^5 = 32,
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25 \le 32,
ou seja, a propriedade vale para n=5.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a desigualdade valha para algum k\ge5, isto é,
k^2 \le 2^k.
Precisamos mostrar que então vale também para k+1, ou seja,
(k+1)^2 \le 2^{\,k+1}.

Passo 4

Começamos por expandir o quadrado e usar a hipótese indutiva:
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \le 2^k + 2k + 1.
Para concluir que isso é \le2^{k+1}=2\cdot2^k, basta mostrar
2^k + 2k + 1 \le 2\cdot2^k \;\Longleftrightarrow\; 2k + 1 \le 2^k.
Mas para k\ge5 temos 2k+1 \le 2\cdot k + 1 \le 2\cdot5 +1 =11 e 2^k \ge 2^5 =32, logo
2k + 1 \le 11 \le 32 \le 2^k.
Portanto a desigualdade 2k+1\le2^k é verdadeira para todo k\ge5, e assim
(k+1)^2 \le 2^k + 2k + 1 \le 2\cdot2^k = 2^{\,k+1}.

Passo 5

Concluímos que, se a desigualdade vale para n=k\ge5, então vale para n=k+1. Como já verificamos o caso n=5, pelo princípio da indução finita a propriedade
n^2 \le 2^n
é verdadeira para todo n\ge5.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge5, vale n^2 \le 2^n.

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