Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede provar, por indução finita, que
para todo
com
.
Passo 2
Verificamos o caso base
. Calculamos
logo
de modo que a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Suponha agora que, para algum
, valha
Esta é a hipótese de indução.
Passo 4
Vamos mostrar que isso implica
Começamos calculando
Pela hipótese de indução,
Como
implica
, temos
Portanto
o que fecha o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
vale para todo
.
Resposta
A desigualdade está provada:
para todo
,
.