Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
2 n+1 \leq 2^{n}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3.

Passo 1

O enunciado pede provar, por indução finita, que
2n+1 \le 2^n
para todo n\in\mathbb{N} com n\ge3.

Passo 2

Verificamos o caso base n=3. Calculamos
2\cdot3+1 = 7 \quad\text{e}\quad 2^3 = 8,
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7 \le 8,
de modo que a propriedade é verdadeira para n=3.

Passo 3

Suponha agora que, para algum k\ge3, valha
2k+1 \le 2^k.
Esta é a hipótese de indução.

Passo 4

Vamos mostrar que isso implica
2(k+1)+1 \le 2^{\,k+1}.
Começamos calculando
2(k+1)+1 = 2k+3 = (2k+1) + 2.
Pela hipótese de indução,
(2k+1)+2 \le 2^k + 2.
Como k\ge3 implica 2 \le 2^k, temos
2^k + 2 \le 2^k + 2^k = 2^{\,k+1}.
Portanto
2(k+1)+1 \le 2^{\,k+1},
o que fecha o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
2n+1 \le 2^n
vale para todo n\ge3.

Resposta

A desigualdade está provada: 2n+1 \le 2^n para todo n\in\mathbb{N}, n\ge3.

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