Verifique as seguintes igualdades:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo envolve a linearidade do determinante em cada coluna e o comportamento sob permutações de colunas.
Passo 2
Definimos as colunas
Então a matriz à esquerda pode ser escrita como
Passo 3
Pela multilinearidade do determinante em cada coluna,
expande-se em
termos, cada um escolhendo em cada coluna um dos dois vetores.
Passo 4
Entre esses 8 determinantes, todos em que apareça alguma coluna repetida valem zero. Sobram apenas
Como as permutações cíclicas de colunas em 3 posições são pares, temos
e
.
e
Passo 5
Somando os dois termos não nulos,
ou seja exatamente a igualdade desejada.