Verifique as seguintes igualdades:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}b+c & c+a & a+b \\\ b^{\prime}+c^{\prime} & c^{\prime}+a^{\prime} & a^{\prime}+b^{\prime} \\\ b^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} & c^{\prime \prime}+a^{\prime \prime} & a^{\prime \prime}+b^{\prime \prime}\end{array}\right]=2 \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ a^{\prime} & b^{\prime} & c^{\prime} \\\ a^{\prime \prime} & b^{\prime \prime} & c^{\prime \prime}\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\det \begin{bmatrix} b+c & c+a & a+b\\\ b'+c' & c'+a' & a'+b'\\\ b''+c'' & c''+a'' & a''+b'' \end{bmatrix} =2\, \det \begin{bmatrix} a & b & c\\\ a' & b' & c'\\\ a'' & b'' & c'' \end{bmatrix}.
O conteúdo envolve a linearidade do determinante em cada coluna e o comportamento sob permutações de colunas.

Passo 2

Definimos as colunas
C_1 = \begin{pmatrix}a\a'\a''\end{pmatrix},\quad C_2 = \begin{pmatrix}b\b'\b''\end{pmatrix},\quad C_3 = \begin{pmatrix}c\c'\c''\end{pmatrix}.
Então a matriz à esquerda pode ser escrita como
M = \bigl[\,C_2 + C_3,\;C_3 + C_1,\;C_1 + C_2\bigr].

Passo 3

Pela multilinearidade do determinante em cada coluna,
\det(M) =\det(C_2 + C_3,\;C_3 + C_1,\;C_1 + C_2)
expande-se em 2^3=8 termos, cada um escolhendo em cada coluna um dos dois vetores.

Passo 4

Entre esses 8 determinantes, todos em que apareça alguma coluna repetida valem zero. Sobram apenas
\det(C_2,C_3,C_1) \quad\text{e}\quad \det(C_3,C_1,C_2).
Como as permutações cíclicas de colunas em 3 posições são pares, temos
\det(C_2,C_3,C_1)=\det(C_1,C_2,C_3)
e
\det(C_3,C_1,C_2)=\det(C_1,C_2,C_3).

Passo 5

Somando os dois termos não nulos,
\det(M) =\det(C_1,C_2,C_3)+\det(C_1,C_2,C_3) =2\,\det(C_1,C_2,C_3),
ou seja exatamente a igualdade desejada.

Resposta

\det \begin{bmatrix} b+c & c+a & a+b\\\ b'+c' & c'+a' & a'+b'\\\ b''+c'' & c''+a'' & a''+b'' \end{bmatrix} =2\, \det \begin{bmatrix} a & b & c\\\ a' & b' & c'\\\ a'' & b'' & c'' \end{bmatrix}.

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