Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-16}{8 - x^{3}}.
Este é um limite que resulta numa forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Verificando a substituição direta:
x=2 \quad\Longrightarrow\quad 2^{4}-16 = 16-16=0,\quad 8-2^{3}=8-8=0,
logo obtemos 0/0, forma indeterminada.

Passo 3

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados e o denominador como diferença de cubos:
x^{4}-16 = (x^{2}-4)(x^{2}+4) = (x-2)(x+2)(x^{2}+4),
8 - x^{3} = 2^{3}-x^{3} = (2-x)(4+2x+x^{2}) = -(x-2)\,(x^{2}+2x+4).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração e cancelando x-2:
\frac{x^{4}-16}{8 - x^{3}} = \frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{-(x-2)(x^{2}+2x+4)} = -\frac{(x+2)(x^{2}+4)}{x^{2}+2x+4}.

Passo 5

Agora substituímos x=2 na expressão simplificada:
-\frac{(2+2)(2^{2}+4)}{2^{2}+2\cdot2+4} = -\frac{4\cdot8}{4+4+4} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}.

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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