Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -2}\frac{8 + x^{3}}{4 - x^{2}}
Usaremos as propriedades de limites, em especial fatoração de polinômios para remover a indeterminação 0/0.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta de x=-2:
Numerador:
8 + (-2)^{3} = 8 - 8 = 0,
Denominador:
4 - (-2)^{2} = 4 - 4 = 0.
Obtivemos uma forma indeterminada 0/0, então é preciso fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador como soma de cubos e o denominador como diferença de quadrados:
8 + x^{3} = 2^{3} + x^{3} = (x + 2)\bigl(x^{2} - 2x + 4\bigr),
4 - x^{2} = 2^{2} - x^{2} = (2 - x)(2 + x) = (2 - x)(x + 2).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x+2) e usamos que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador não zere mais:
\frac{8 + x^{3}}{4 - x^{2}} = \frac{(x+2)\bigl(x^{2}-2x+4\bigr)}{(2-x)(x+2)} = \frac{x^{2}-2x+4}{2-x}.
Agora avaliamos em x=-2:
x^{2}-2x+4\bigl|_{x=-2} = (-2)^{2} -2(-2) +4 = 4 +4 +4 =12,
2 - x\bigl|_{x=-2} = 2 - (-2) = 4.

Passo 5

Portanto o limite vale
\frac{12}{4} = 3.

Resposta

3

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