Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x}-2 \sqrt{2}}{\sqrt[3]{x+19}-3}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{x+19}-3}.
Note que, ao substituir x=8, o numerador e o denominador ficam 0, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. Vamos então usar manipulações algébricas (racionalização e fatoração) para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Racionalizamos o numerador, escrevendo
\sqrt{x}-2\sqrt{2} =\frac{(\sqrt{x}-2\sqrt{2})(\sqrt{x}+2\sqrt{2})}{\sqrt{x}+2\sqrt{2}} =\frac{x-8}{\sqrt{x}+2\sqrt{2}}.

Passo 3

Fatoramos a diferença de cubos no denominador:
\sqrt[3]{x+19}-3 =\frac{(\sqrt[3]{x+19}-3)\bigl((\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9\bigr)} {(\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9} =\frac{(x+19)-27}{(\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9} =\frac{x-8}{(\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9}.

Passo 4

Substituindo essas expressões no quociente e cancelando x-8, obtemos
\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{x+19}-3} =\frac{\displaystyle\frac{x-8}{\sqrt{x}+2\sqrt{2}}} {\displaystyle\frac{x-8}{(\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9}} =\frac{(\sqrt[3]{x+19})^2+3\sqrt[3]{x+19}+9}{\sqrt{x}+2\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora que não há mais indeterminação, basta substituir x=8:
\sqrt[3]{8+19}= \sqrt[3]{27}=3, \quad \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo o numerador vale
3^2+3\cdot3+9=9+9+9=27,
e o denominador vale
2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Portanto,
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{x+19}-3} =\frac{27}{4\sqrt{2}} =\frac{27\sqrt{2}}{8}.

Resposta

\frac{27\sqrt{2}}{8}.

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