Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+x^{2}-3 x+1}{x^{3}-3 x^{2}+5 x-3}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+x^{2}-3x+1}{x^{3}-3x^{2}+5x-3}.
O conteúdo é de limites de funções racionais com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar as propriedades de limites (quociente) e fatoração para simplificar.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x=1:
numerador: 1^{3}+1^{2}-3\cdot1+1=1+1-3+1=0,
denominador: 1^{3}-3\cdot1^{2}+5\cdot1-3=1-3+5-3=0.
Como obtemos 0/0, há indeterminação e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos polinômios sabend o fator (x-1):
x^{3}+x^{2}-3x+1 = (x-1)(x^{2}+2x-1),
x^{3}-3x^{2}+5x-3 = (x-1)(x^{2}-2x+3).

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando (x-1):
\frac{x^{3}+x^{2}-3x+1}{x^{3}-3x^{2}+5x-3} = \frac{(x-1)(x^{2}+2x-1)}{(x-1)(x^{2}-2x+3)} = \frac{x^{2}+2x-1}{x^{2}-2x+3}.
Agora o limite passa a ser
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+2x-1}{x^{2}-2x+3}.

Passo 5

Basta substituir x=1 na expressão simplificada:
\frac{1^{2}+2\cdot1-1}{1^{2}-2\cdot1+3} = \frac{1+2-1}{1-2+3} = \frac{2}{2} =1.

Resposta

1

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