Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \frac{1}{x}-\sqrt{x}+7 d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\int \biggl(\frac{1}{x} - \sqrt{x} + 7\biggr)\,dx.
O conteúdo envolve a propriedade de linearidade da integral e as integrais de funções elementares: a regra do poder para x^n e a fórmula de \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 2

Aplicando a linearidade, separamos em três integrais:
\int \biggl(\frac{1}{x} - \sqrt{x} + 7\biggr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx \;-\;\int \sqrt{x}\,dx \;+\;\int 7\,dx.

Passo 3

Calculemos \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx. Pela fórmula conhecida,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\!\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Para \displaystyle\int \sqrt{x}\,dx escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e usamos a regra do poder:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} = \frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 5

Para a constante,
\int 7\,dx = 7x.

Passo 6

Reunindo os resultados e lembrando do sinal menos, obtemos
\int \biggl(\frac{1}{x} - \sqrt{x} + 7\biggr)\,dx = \ln\!\bigl|x\bigr| \;-\;\frac{2}{3}\,x^{3/2}\;+\;7x\;+\;C.

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl|x\bigr| - \tfrac{2}{3}\,x^{3/2} + 7x + C

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