Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \operatorname{tg}(x)+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(\operatorname{tg}(x) + x\bigr)\,dx
Usaremos a propriedade de linearidade das integrais e as integrais conhecidas de funções elementares: de \operatorname{tg}(x) e de x.

Passo 2

Pela linearidade, podemos separar a integral em duas:
\int \bigl(\operatorname{tg}(x) + x\bigr)\,dx = \int \operatorname{tg}(x)\,dx \;+\; \int x\,dx.

Passo 3

Para integrar \operatorname{tg}(x), lembramos que
\operatorname{tg}(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.
Fazendo a substituição u = \cos(x), temos du = -\operatorname{sen}(x)\,dx. Então
\int \operatorname{tg}(x)\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C_1 = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C_1.

Passo 4

Para integrar x, usamos a regra da potência:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.

Passo 5

Somando os resultados e agrupando a constante geral C, obtemos
\int \bigl(\operatorname{tg}(x) + x\bigr)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \frac{x^2}{2} + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \frac{x^2}{2} + C

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