Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \frac{1}{x^{2}}-4 x+\cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\biggl(\frac{1}{x^{2}}-4x+\cos(x)\biggr)\,dx
utilizando propriedades de integrais de funções elementares. Vamos precisar da linearidade da integral, da regra do poder para polinômios e da primitivação de \cos(x).

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, separamos em três integrais:
\int\frac{1}{x^{2}}\,dx \;-\;\int4x\,dx\;+\;\int\cos(x)\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral, note que
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},
e pela regra do poder \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), com n=-2 obtemos
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1},
ou seja,
\int\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 4

Para a segunda integral, tiramos a constante:
\int4x\,dx = 4\int x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = 2x^{2},
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-\int4x\,dx = -2x^{2}.

Passo 5

Para a terceira integral, usamos a primitiva de \cos(x):
\int\cos(x)\,dx = \sin(x).

Passo 6

Somando os resultados parciais e adicionando a constante de integração C, temos
\int\biggl(\frac{1}{x^{2}}-4x+\cos(x)\biggr)\,dx = -\frac{1}{x} - 2x^{2} + \sin(x) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{x} - 2x^{2} + \sin(x) + C

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