Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \frac{1}{x^{3}}-1+3^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\Bigl(\frac{1}{x^{3}} - 1 + 3^{x}\Bigr)\,dx
usando integrais de funções elementares. Vamos precisar de três propriedades básicas:
  1. Linearidade da integral:
\int\bigl(f+g+h\bigr)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx + \int h\,dx.
  1. Regra da potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad(n\neq -1).
  1. Integral de exponencial de base a:
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)}.

Passo 2

Separamos a integral em três termos:
\int\frac{1}{x^{3}}\,dx \;-\;\int 1\,dx \;+\;\int 3^{x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle\int\frac{1}{x^{3}}\,dx, escrevemos \frac{1}{x^3}=x^{-3} e aplicamos a regra da potência com n=-3:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,x^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle\int 1\,dx, usamos a integral de constante:
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Para \displaystyle\int 3^{x}\,dx, usamos a fórmula da exponencial de base a=3:
\int 3^{x}\,dx = \frac{3^{x}}{\ln(3)}.

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
-\frac{1}{2\,x^{2}} \;-\; x \;+\; \frac{3^{x}}{\ln(3)} \;+\; C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{1}{x^{3}} - 1 + 3^{x}\Bigr)\,dx = -\frac{1}{2\,x^{2}} - x + \frac{3^{x}}{\ln(3)} + C.

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