Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \frac{4}{x}-5 \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(\frac{4}{x}-5\,\operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx.
O conteúdo é aplicação da linearidade da integral e das integrais básicas
\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx e \displaystyle\int \operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade da integral, separamos:
\int \Bigl(\frac{4}{x}-5\,\operatorname{sen}(x)\Bigr)\,dx =4\int \frac{1}{x}\,dx \;-\;5\int \operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Agora usamos as integrais elementares conhecidas:
  1. \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_1.
  2. \displaystyle\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x) + C_2.

Passo 4

Substituindo em cada termo:
4\int \frac{1}{x}\,dx = 4\ln\lvert x\rvert,
-5\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -5\bigl(-\cos(x)\bigr) = 5\cos(x).
Somando e incluindo a constante geral C, temos
\int \Bigl(\frac{4}{x}-5\,\operatorname{sen}(x)\Bigr)\,dx =4\ln\lvert x\rvert + 5\cos(x) + C.

Resposta

4\ln\lvert x\rvert + 5\cos(x) + C

Exercícios relacionados