Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int 3 \sqrt[4]{x^{2}}-e+5^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(3\sqrt[4]{x^{2}} - e + 5^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções elementares: usamos a regra do poder para a parte em x, a regra da constante e a fórmula
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a parte 3\sqrt[4]{x^{2}}. Como
\sqrt[4]{x^{2}} = (x^{2})^{\tfrac14} = x^{\tfrac12},
temos
3\sqrt[4]{x^{2}} = 3\,x^{\tfrac12}.
Logo a integral vira
\int \bigl(3x^{\tfrac12} - e + 5^{x}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo. Para a parte 3x^{\tfrac12} usamos a regra do poder:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}x^{\tfrac32},
portanto
\int 3x^{\tfrac12}\,dx = 3\cdot\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} = 2\,x^{\tfrac32}.

Passo 4

Para a constante -e basta aplicar a regra
\int (-e)\,dx = -e\int 1\,dx = -e\,x.

Passo 5

Para 5^{x} usamos a fórmula da exponencial geral:
\int 5^{x}\,dx = \frac{5^{x}}{\ln 5}.

Passo 6

Somando todas as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos
2\,x^{\tfrac32} \;-\; e\,x \;+\;\frac{5^{x}}{\ln 5} \;+\; C.

Resposta

2\,x^{\tfrac32} - e\,x + \frac{5^{x}}{\ln 5} + C.

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