Utilize propriedades e as integrais das funções elementares para calcular
\int \frac{x}{2}+\sqrt{2}-e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \Bigl(\tfrac{x}{2} + \sqrt{2} - e^{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a propriedade de linearidade da integral e as integrais conhecidas de funções polinomiais, constantes e exponenciais.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, escrevemos
\int \Bigl(\tfrac{x}{2} + \sqrt{2} - e^{x}\Bigr)\,dx = \int \tfrac{x}{2}\,dx \;+\;\int \sqrt{2}\,dx \;-\;\int e^{x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \tfrac{x}{2}\,dx, fatoramos \tfrac12:
\int \tfrac{x}{2}\,dx = \tfrac12 \int x\,dx = \tfrac12 \cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \sqrt{2}\,dx, como \sqrt{2} é constante,
\int \sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}\,x.

Passo 5

Para \displaystyle \int e^{x}\,dx, sabemos que
\int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 6

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int \Bigl(\tfrac{x}{2} + \sqrt{2} - e^{x}\Bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{4} + \sqrt{2}\,x - e^{x} + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{4} + \sqrt{2}\,x - e^{x} + C

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