Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=e^x^4 cos (1-5 x)3 x-5

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x) = e^x^4 cos(1-5x)3x-5 usando a regra da cadeia, além de produto e quociente. Vamos precisar aplicar: derivação de funções compostas (regra da cadeia), derivação de um produto e derivação de um quociente.

Passo 2

Chamamos o numerador de N(x) = e^x^4 cos(1-5x) e o denominador de D(x) = 3x - 5. Primeiro, vamos derivar N(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Para derivar N(x), definimos A(x) = e^x^4 e B(x) = cos(1-5x). A derivada de A(x) é
A'(x) = e^x^4 cdot 4x^3
porque derivamos a exponencial composta com u(x)=x^4. A derivada de B(x) é
B'(x) = -sin(1-5x) cdot (-5) = 5sin(1-5x)
aplicando a regra da cadeia em cos(u) com u=1-5x. Assim, pela regra do produto:
N'(x) = A'(x)B(x) + A(x)B'(x) = e^x^4l(4x^3cos(1-5x) + 5sin(1-5x)r)

Passo 4

Derivamos o denominador D(x) = 3x - 5 de forma direta:
D'(x) = 3

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = D(x),N'(x) - N(x),D'(x)[D(x)]^2
Substituindo N, N', D e D':
f'(x) = (3x-5),e^x^4l(4x^3cos(1-5x) + 5sin(1-5x)r) - e^x^4cos(1-5x)cdot 3(3x-5)^2
Factorizando e^x^4 no numerador, obtemos:
f'(x) = e^x^4l[(3x-5)l(4x^3cos(1-5x) + 5sin(1-5x)r) - 3cos(1-5x)r](3x-5)^2

Resposta

f'(x) = e^x^4l[(3x-5)l(4x^3cos(1-5x) + 5sin(1-5x)r) - 3cos(1-5x)r](3x-5)^2

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