Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=2 x \cdot \ln \left(5 x^{2}+4 x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = 2x \,\ln\bigl(5x^2 + 4x\bigr)
e pede y'. Aqui vamos usar a regra do produto para derivadas e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar o \ln.

Passo 2

Definimos
u(x) = 2x, \quad v(x) = \ln\bigl(5x^2 + 4x\bigr).
Pela regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x) = 2.
Para v'(x), seja g(x) = 5x^2 + 4x. Então
v(x) = \ln\bigl(g(x)\bigr),
e pela regra da cadeia
v'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{10x + 4}{5x^2 + 4x}.

Passo 4

Substituindo em y' = u'v + uv':
y' = 2 \,\ln\bigl(5x^2 + 4x\bigr) \;+\; 2x \,\frac{10x + 4}{5x^2 + 4x}.
Podemos deixar assim ou ainda combinar termos no segundo somatório:
y' = 2\,\ln\bigl(5x^2 + 4x\bigr) \;+\; \frac{20x^2 + 8x}{5x^2 + 4x}.

Resposta

y' = 2\,\ln\bigl(5x^2 + 4x\bigr) \;+\; \frac{20x^2 + 8x}{5x^2 + 4x}.

Exercícios relacionados